Question

如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于O，∠1=∠2，∠3=∠4．
（1）求證：△ABC≌△ADC；
（2）若∠1=∠4，AC=6

3

，BD=6．求四邊形ABCD的周長．

Answer 1

分析：（1）根據兩角對應相等，夾邊相等的兩個三角形全等得出結論；
（2）由∠1=∠4，可推得四邊形ABCD為菱形，根據菱形對角線互相垂直平分的性質，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根據勾股定理可以求得AB的長，即可求菱形ABCD的周長．

解答：解：（1）∵∠1=∠2，∠3=∠4，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC；

（2）∵△ABC≌△ADC，
∴AB=AD，
∵∠1=∠4，
∴∠2=∠4，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
∴AD=CD=AB=BC，
∴四邊形ABCD為菱形，
∵AC=6

3

，BD=6．
∴BO=OD=3，AO=OC=3

3

，
∴AB=6．
故菱形的周長為24，
答：菱形的周長為24．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質、勾股定理以及菱形的判定和性質，勾股定理在直角三角形中的運用，本題中根據勾股定理計算AB的長是解題的關鍵．