Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，點D為線段BC上一個動點（不與點B，C重合），連接AD，將線段AD繞點D順時針旋轉90°得到線段DE，連接EC.

（1）①依題意補全圖1；

②求證：∠EDC＝∠BAD;

（2）①小方通過觀察、實驗，提出猜想：在點D運動的過程中，線段CE與BD的數量關系始終不變，用等式表示為　 　；

②小方把這個猜想與同學們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：

想法1：過點E作EF⊥BC，交BC延長線于點F，只需證△ADB≌△DEF．

想法2：在線段AB上取一點F，使得BF＝BD，連接DF，只需證△ADF≌△DEC．

想法3：延長AB到F，使得BF＝BD，連接DF，CF，只需證四邊形DFCE為平行四邊形．

……

請你參考上面的想法，幫助小方證明(2)①中的猜想．（一種方法即可）

Answer 1

【答案】（1）①見解析②見解析（2）①猜想：CE＝BD②見解析

【解析】

（1）①依題意補全圖形即可；②由角的關系即可得出結論；
（2）①由全等三角形和勾股定理可猜想CE=BD；
②想法1：過點E作EF⊥BC，交BC延長線于點F，證明△ADB≌△DEF，得出AB=DF，BD=EF，證出CF=BD=EF，得出△CEF是等腰直角三角形，即可得出結論；
想法2：在線段AB上取一點F，使得BF=BD，連接DF，證出AF=DC，證明△ADF≌△DEC，得出CE=DF=BD即可；
想法3：延長AB到F，使得BF=BD，連接DF，CF，證明△ABD≌△CBF，得出AD=CF，∠BAD=∠BCF，再證明四邊形DFCE為平行四邊形，即可得出結論．

（1）①補全的圖形如圖1所示；

②∵∠ADE＝∠B＝90°，∴∠EDC+∠ADB＝∠BAD+∠ADB＝90°，

∴∠EDC＝∠BAD；

（2）①猜想：CE＝BD；

故答案為：CE＝BD；

②想法1：

證明：過點E作EF⊥BC，交BC延長線于點F，如圖2所示：

∴∠F＝90°，∴∠B＝∠F，

在△ADB和△DEF中，，

∴△ADB≌△DEF（AAS），∴AB＝DF，BD＝EF，

∵AB＝BC，∴DF＝BC，即DC+CF＝BD+DC，

∴CF＝BD＝EF，∴△CEF是等腰直角三角形，

∴CE＝CF＝BD；

想法2：

證明：在線段AB上取一點F，使得BF＝BD，連接DF，如圖3所示：

∵∠B＝90°，AB＝BC，

∴DF＝BD，

∵AB＝BC，BF＝BD，

∴AB﹣BF＝BC﹣BD，

即AF＝DC，

在△ADF和△DEC中，

，

∴△ADF≌△DEC（SAS），

∴CE＝DF＝BD；

想法3：

證明：延長AB到F，使得BF＝BD，連接DF，CF，如圖4所示：

∵∠B＝90°，∴DF＝BD，

在Rt△ABD和Rt△CBF中，

，

∴△ABD≌△CBF（SAS），

∴AD＝CF，∠BAD＝∠BCF，

∵AD＝DE，∴DE＝CF．

∵∠EDC＝∠BAD，∴∠EDC＝∠BCF，

∴DE∥CF，

∴四邊形DFCE為平行四邊形，

∴CE＝DF＝BD．