Question

如圖，在銳角△ABC中，AC是最短邊；以AC中點O為圓心，

1

2

AC長為半徑作⊙O，交BC于E，過O作OD∥BC交⊙O于D，連接AE、AD、DC．
（1）求證：D是

AE

的中點；
（2）求證：∠DAO=∠B+∠BAD；
（3）若

S△CEF

S△OCD

 =

1

2

，且AC=4，求CF的長．

Answer 1

分析：（1）判斷出OD⊥AE，則利用垂徑定理可得出點D是

AE

的中點；
（2）延長AD交BC于H，利用外角可得出∠AHC=∠B+∠BAD，再由OA=OD，可得出結論．
（3）根據OA=OC可得出△OCD和△ACD的面積比，從而結合

S△CEF

S△OCD

 =

1

2

可得出△CEF和△ACD的面積比，判斷出△ACD∽△FCE，利用面積比等于相似比的平方即可解出CF的值．

解答：證明：（1）∵AC是⊙O的直徑，
∴AE⊥BC，
∵OD∥BC
∴AE⊥OD，
∴D是

AE

的中點（垂徑定理）．
（2）如圖，延長AD交BC于H，

則∠ADO=∠AHC，
∵∠AHC=∠B+∠BAD，
∴∠ADO=∠B+∠BAD，
又∵OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
∴∠DAO=∠B+∠BAD．
（3）∵AO=OC，
∴S△OCD=

1

2

S△ACD，
∵

S△CEF

S△OCD

=

1

2

，
∴

S△CEF

S△ACD

=

1

4

，
∵∠ACD=∠FCE，∠ADC=∠FEC=90°，
∴△ACD∽△FCE，
∴

S△CEF

S△ACD

=(

CF

AC

)2，即：

1

4

=(

CF

4

)2，
∴CF=2．

點評：此題屬于圓的綜合題，涉及了垂徑定理、三角形的外角、相似三角形的判定與性質，要求我們掌握底邊在一條直線上且高相等的三角形的面積之比等于底邊之比，相似三角形的面積之比等于相似比的平方，難度較大．