Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A（10，0），以OA為直徑在第一象限內作半圓C，點B是該半圓周上一動點，連結OB、AB，并延長AB至點D，使DB=AB，過點D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點E、F，點E為垂足，連結CF．

 

 

1.當∠AOB=30°時，求弧AB的長度；

2.當DE=8時，求線段EF的長；

3.在點B運動過程中，當交點E在O，C之間時，是否存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，若存在，請求出此時點E的坐標；若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

 

1.連結BC,

∵A（10，0）, ∴OA=10 ,CA=5,

∵∠AOB=30°,

∴∠ACB=2∠AOB=60°,

∴弧AB的長=; 

2.連結OD,

∵OA是⊙C直徑, ∴∠OBA=90°,

又∵AB=BD,

∴OB是AD的垂直平分線,

∴OD=OA=10,

在Rt△ODE中，

OE=,

∴AE=AO－OE=10-6=4,

由 ∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，

得△OEF∽△DEA,

∴,即，∴EF=3

 

 

3.設OE=x，當交點E在O，C之間時，

由以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，

有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，

 

 

① ∠ECF=∠BOA時，此時△OCF為等腰三角形，點E為OC

中點，即OE=，∴E₁（，0）；

②  ∠ECF=∠OAB時，有CE=5-x,AE=10-x，

∴CF∥AB,有CF=,

∵△ECF∽△EAD,

∴,即,解得：,

∴E₂（，0）

 解析:略