Question

已知：如圖所示，拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸為x=-1，與x軸交于A、B兩點，交y軸于點C，且OB=OC，則下列結論正確的個數是（ ）
①b=2a   ②a-b+c＞-1  ③0＜b²-4ac＜4   ④ac+1=b．

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：①根據拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸為x=-1，即-=-1，整理后即可得到答案；
②觀察函數圖象可以得到當x=-1時，函數值大于-1，從而可以得到答案；
③觀察圖象知函數圖象與x軸有兩個交點，從而得到b²-4ac＞0；然后根據表示出a，b，c的值，根據不等式的性質，即可求得；
④由拋物線與y軸相交于點C，就可知道C點的坐標，然后代入函數式，即可得到答案．
解答：解：①∵拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸為x=-1，
∴-=-1，
整理得b=2a，
故①正確；
④由拋物線與y軸相交于點C，就可知道C點的坐標為（0，c），又因OC=OB，所以B（-c，0），把它代入y=ax²+bx+c，即ac2-bc+c=0，兩邊同時除以c，即得到ac-b+1=0，所以ac+1=b．
②∵b=2a，ac+1=b，
∴a=，
∵0＜c＜1，
∴0＜a＜1，
∴0＜b＜2，
∴a-b+c＞-1
∴當x=-1時，y=ax²+bx+c=a-b+c＞-1，
故②正確；
③∵函數圖象與x軸有兩個交點，
∴得到b²-4ac＞0，
∵0＜b²＜4，4ac＞0，
∴b²-4ac＜4
故③正確；
故選D．
點評：本題考查了二次函數的系數與圖象的關系，根據拋物線與x軸，y軸的交點判斷交點坐標，然后代入函數式，推理a，b，c之間的關系．