Question

閱讀下面材料，并解決問題：
（1）如圖（1），等邊△ABC內有一點P，若點P到頂點A，B，C的距離分別為3，4，5，則∠APB=______，由于PA，PB不在一個三角形中，為了解決本題我們可以將△ABP繞頂點A旋轉到△ACP′處，此時△ACP′≌______這樣，就可以利用全等三角形知識，將三條線段的長度轉化到一個三角形中從而求出∠APB的度數．
（2）請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：已知如圖（2），△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F為BC上的點且∠EAF=45°，求證：EF²=BE²+FC²．

Answer 1

【答案】分析：（1）此類題要充分運用旋轉的性質，以及全等三角形的性質得對應角相等，對應邊相等，得出∠PAP′=60°，再利用等邊三角形的判定得出△APP′為等邊三角形，即可得出∠APP′的度數，即可得出答案；
（2）利用已知首先得出△AEG≌△AFE，即可把EF，BE，FC放到一個直角三角形中，從而根據勾股定理即可證明．
解答：解：（1）將△ABP繞頂點A旋轉到△ACP′處，
∴△BAP≌△CAP′，
∴AB=AC，AP=AP′，∠BAP=∠CAP′，
∴∠BAC=∠PAP′=60°，
∴△APP′是等邊三角形，
∴∠APP′=60°，
因為B P P′不一定在一條直線上
連接PC，
∴P′C=PB=4，PP′=PA=3，P′C=PC=5，
∴∠PP′C=90°，
∴△PP′C是直角三角形，
∴∠APB=∠AP′C=150°，
∴∠BPA=150°；
故答案是：150°，△ABP；

（2）把△ACF繞點A順時針旋轉90°，得到△ABG．連接EG．
則△ACF≌△ABG．
∴AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°．
∵∠BAC=90°，∠GAF=90°．
∴∠GAE=∠EAF=45°，
在△AEG和△AFE中，
∵
∴△AEG≌△AFE．
∴EF=EG，
又∵∠GBE=90°，
∴BE²+BG²=EG²，
即BE²+CF²=EF²．
點評：熟練掌握旋轉的性質，充分運用全等三角形的性質找到相關的角和線段之間的關系．