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(2007•江蘇)如圖,BC是⊙O的直徑,點(diǎn)A在圓上,且AB=AC=4. P為AB上一點(diǎn),過(guò)P作PE⊥AB分別交BC、OA于E、F.
(1)設(shè)AP=1,求△OEF的面積;
(2)設(shè)AP=a(0<a<2),△APF、△OEF的面積分別記為S1、S2
①若S1=S2,求a的值;
②若S=S1+S2,是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)a,使S<?若存在,求出一個(gè)a的值;若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)易知△AOC、△OEF、△AFP均為等腰直角三角形,因此只需求出OF的長(zhǎng)就可得出△OEF的面積,在直角三角形AFP中,根據(jù)AP=1,可求得AF=,已知了AB、AC的長(zhǎng)可求出OA的長(zhǎng),進(jìn)而可得出OF的長(zhǎng).也就能求出△OEF的面積.
(2)①同(1)可用a表示出△OEF的面積,S2=a2,然后根據(jù)S1=S2,可得出關(guān)于a的方程,即可求出a的值.
②根據(jù)①即可得出關(guān)于S,a的函數(shù)關(guān)系式,然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷出是否存在使S<的值.
解答:解:(1)∵BC是⊙O的直徑,
∴∠BAC=90°,
∵AB=AC
∴∠B=∠C=45°,OA⊥BC,
∴∠1=∠B=45°,
∵PE⊥AB
∴∠2=∠1=45°
∴∠4=∠3=45°,
則△APF、△OEF與△OAB均為等腰直角三角形.
∵AP=l,AB=4,
∴AF=,OA=
∴OE=OF=
∴△OEF的面積為•OE•OF=1.

(2)①∵FP=AP=a,
∴S1=a2
且AF=
∴OE=OF=2-a=(2-a),
∴S2=•OE•OF=(2-a)2
∵S1=S2
a2=(2-a)2
∴a=4±
∵0<a<2

②S=S1+S2=a2+(2-a)2=a2-4a+4=(a-2+
∴當(dāng)時(shí),S取得最小值為

∴不存在這樣實(shí)數(shù)a,使S<
點(diǎn)評(píng):本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、圖形面積的求法及二次函數(shù)的應(yīng)用,綜合性強(qiáng).
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2007•江蘇)如圖,MN為⊙O的弦,∠M=50°,則∠MON等于( )
A.50°
B.55°
C.65°
D.80°

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(2007•江蘇)如圖,正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°后得到正方形AEFG,邊EF與CD交于點(diǎn)O.
(1)以圖中已標(biāo)有字母的點(diǎn)為端點(diǎn)連接兩條線段(正方形的對(duì)角線除外),要求所連接的兩條線段相交且互相垂直,并說(shuō)明這兩條線段互相垂直的理由;
(2)若正方形的邊長(zhǎng)為2cm,重疊部分(四邊形AEOD)的面積為,求旋轉(zhuǎn)的角度n.

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(2007•江蘇)如圖,△ABC中A(-2,3),B(-3,1),C(-1,2).
(1)將△ABC各點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加4個(gè)單位長(zhǎng)度,縱坐標(biāo)保持不變,得△A1B1C1,畫出△A1B1C1
(2)將△ABC各點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)分別乘以-1,得△A2B2C2,畫出△A2B2C2
(3)將△A2B2C2各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變,橫坐標(biāo)分別乘以-1,得△A3B3C3,畫出△A3B3C3
(4)在△A1B1C1,△A2B2C2,△A3B3C3中,△______與△______成軸對(duì)稱,對(duì)稱軸是______;△______與△______成中心對(duì)稱,對(duì)稱中心的坐標(biāo)是______.

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(2007•江蘇)如圖是一個(gè)廢棄的扇形統(tǒng)計(jì)圖,小華利用它的陰影部分來(lái)制作一個(gè)圓錐,則這個(gè)圓錐的底面半徑是( )

A.3.6
B.1.8
C.3
D.6

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(2007•江蘇)如圖,已知AD與BC相交于E,∠1=∠2=∠3,BD=CD,∠ADB=90°,CH⊥AB于H,CH交AD于F.
(1)求證:CD∥AB;
(2)求證:△BDE≌△ACE;
(3)若O為AB中點(diǎn),求證:OF=BE.

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