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如圖,△ABC中,AB=2,BC=2
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,AC=4,E,F(xiàn)分別在AB,AC上,沿EF對折,使精英家教網(wǎng)點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)D處,且FD⊥BC.
(1)求AD的長;
(2)判斷四邊形AEDF的形狀,并證明你的結(jié)論.
分析:(1)因?yàn)锳C2=AB2+BC2,根據(jù)勾股定理和逆定理知,△ABC是直角三角形,∠B=90°,由折疊的性質(zhì)知,AF=DF,∠AFE=∠DFE=(180°-∠DFC)÷2=60°,則EF是等腰三角形△AFD的頂角的平分線,也是△AFD的底邊上的高所在的直線,∴EF⊥AD,所以∠FAD=∠FDA=30°,所以∠DAB=30°,由ADcos30°=AB,而求得AD的值.
(2)由(1)知,先證AEDF是平行四邊形,再證AF=FD,所以四邊形AEDF是菱形.
解答:解:(1)因?yàn)锳B=2,BC=2
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,AC=4,
∴AC2=AB2+BC2
∴△ABC是直角三角形,∠B=90°,
又∵AC=2AB,
∴∠C=30°,∠BAC=60°
由FD⊥BC,得∠DFC=60°,
又∵AF=DF,
∴∠FAD=∠FDA=30°,
∴∠DAB=30°,
∴ADcos30°=AB,得AD=
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3
3


(2)四邊形AEDF是菱形.
證明:∵AB⊥BC,F(xiàn)D⊥BC,
∴AE∥FD,
∵∠BAC=60°,
∴∠AFD=120°,
∵∠DAF=30°,AF=DF,
∴∠ADF=30°,
∴∠EAD=∠ADE=30°,
∴∠EDF=60°,
∴AF∥ED,
∴四邊形AEDF是平行四邊形,
∵AF=DF,
∴平行四邊形AEDF是菱形(鄰邊相等的平行四邊形是菱形).精英家教網(wǎng)
點(diǎn)評:本題利用了:
1、折疊的性質(zhì):折疊是一種對稱變換,它屬于軸對稱,根據(jù)軸對稱的性質(zhì),折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等;
2、勾股定理,直角三角形的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形和菱形的判定和性質(zhì)求解.
練習(xí)冊系列答案
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26、已知:如圖,△ABC中,點(diǎn)D在AC的延長線上,CE是∠DCB的角平分線,且CE∥AB.
求證:∠A=∠B.

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27、已知:如圖,△ABC中,∠BAC=60°,D、E兩點(diǎn)在直線BC上,連接AD、AE.
求:∠1+∠2+∠3+∠4.

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27、如圖,△ABC中,AD⊥BC于D,DN⊥AC于N,DM⊥AB于M
求證:∠ANM=∠B.

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14、如圖,△ABC中,∠BAC=120°,AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,則∠C的大小是(  )

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精英家教網(wǎng)已知,如圖,△ABC中,點(diǎn)D在BC上,且∠1=∠C,∠2=2∠3,∠BAC=70°.
(1)求∠2的度數(shù);
(2)若畫∠DAC的平分線AE交BC于點(diǎn)E,則AE與BC有什么位置關(guān)系,請說明理由.

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