Question

8．如圖所示，在平面直角坐標系中，點C在y軸上，點B在x軸上，∠CBO=60°，過點C作CA垂直CB交x軸于點A，點B坐標為（2，0）．
（1）求點A坐標；
（2）點P從點B出發，以每秒2個單位的速度沿射線BC運動，過點P作x軸的平行線交直線AC于點D，設點P運動時間為t，線段PD長度為d，試用含t的代數式表示d；
（3）在（2）的條件下，當點P在BC延長線上時，連接AP，在線段CD上取點E，連接OE，使OE=AP，當∠CEO+∠PAB=90°時，求d的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，根據直角三角形30度角性質，可知BC=2OB，AB=2BC，求出OA即可解決問題．
（2）分兩種情形①如圖2中，當0＜t≤2時，②如圖3中，當t＞2時，分別求解即可．
（3）如圖4中，作AN⊥DP交DP的延長線于N，OM⊥AD于M．首先證明△ANP≌△EMO，推出PN=OM，再由$\frac{1}{2}$•AC•OM=$\frac{1}{2}$•OA•OC，求出OM=$\frac{2\sqrt{3}•6}{4\sqrt{3}}$=3，PN=3，推出點P的橫坐標為-3，求出點P（-3，5$\sqrt{3}$），PB=$\sqrt{（-3-2）^{2}+（5\sqrt{3}）^{2}}$=10，t=5，根據（2）中的結論即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，

∵CA⊥CB，
∴∠ACB=90°，
∵∠CBO=60°，∠BOC=90°，
∴∠A=∠BCO=30°，∵B（2，0），
∴OB=2，BC=2OB=4，AB=2BC=8，
∴OA=AB-OB=6，
∴A（-6，0）．

（2）①如圖2中，當0＜t≤2時，

在RT△DPC中，∵∠DCP=90°，DP∥AB，
∴∠CDP=∠A=30°，
∴d=DP=2PC=2（4-2t）=8-4t．
②如圖3中，當t＞2時，

在Rt△PCD中，同理可得d=PD=2PC=2（2t-4）=4t-8，
綜上所述，d=$\left\{\begin{array}{l}{8-4t}&{（0＜t≤2）}\\{4t-8}&{（t＞2）}\end{array}\right.$．

（3）如圖4中，作AN⊥DP交DP的延長線于N，OM⊥AD于M．

∵∠CEO+∠PAB=90°，∠PAB+∠NAP=90°，
∴∠PAN=∠OEM，∵AP=OE，∠ANP=∠OME=90°，
∴△ANP≌△EMO，
∴PN=OM，
∵$\frac{1}{2}$•AC•OM=$\frac{1}{2}$•OA•OC，
∴OM=$\frac{2\sqrt{3}•6}{4\sqrt{3}}$=3，
∴PN=3，
∴點P的橫坐標為-3，
∵B（2，0），C（0，2$\sqrt{3}$），
∴直線BC的解析式為y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，
∴P（-3，5$\sqrt{3}$），
∴PB=$\sqrt{（-3-2）^{2}+（5\sqrt{3}）^{2}}$=10，
∴t=5，
∴d=4t-8=20-8=12．

點評 本題考查三角形綜合題、直角三角形30度角性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理，等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會利用面積法求線段的長，屬于中考壓軸題．