Question

已知：如圖，在△ABC中，BC＝AC，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交于點D，DE⊥AC，垂足為點E.

1.判斷DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論

2.若DE的長為2，cosB＝，求⊙O的半徑.

 

Answer 1

【答案】

 

1.如圖，連接CD，則CD⊥AB，　　

又∵AC＝BC，

∴AD＝BD , 即點D是AB的中點．…………………… 2分

DE是⊙O的切線．

理由是：連接OD，則DO是△ABC的中位線，

∴DO∥AC.

又∵DE⊥AC， 

∴DE⊥DO，

又∵OD是⊙O的半徑，

∴DE是⊙O的切線．…………… 3分

2.∵AC＝BC，∴∠B＝∠A，

∴cos∠B＝cos∠A＝.

∵cos∠A＝＝  又DE=

∴AD＝3.  ∴BD＝AD=3

∵cos∠B＝＝，

∴BC＝9，

∴半徑為…………… 3分

【解析】（1）連接OD，則OD為△ABC的中位線，OD∥AC，已知DE⊥AC，可證DE⊥OC，證明結論；

(2)利用勾股定理和直角三角形的角邊關系推出園的直徑，然后得出園的半徑。