Question

如圖，在矩形ABCD中，點O在對角線AC上，以 OA長為半徑的⊙O與AD、AC分別交于點E、F,且∠ACB=∠DCE．

（1）求證：CE是⊙O的切線；   

（2）若tan∠ACB=，AE=7，求⊙O的直徑．

 

Answer 1

 

（1）證明略

（2）

解析:（1）證明：連接OE，

       ∵ 四邊形ABCD是矩形，

∴ AD∥BC，∠D=90°．

       ∴ ∠3=∠1，∠2+∠5=90°．  …………………………… 1分

又 OA=OE，∴ ∠3=∠4．

∵ ∠1=∠2，

∴ ∠4=∠2．    …………………………………………… 2分

∴ ∠4+∠5=90°，即∠OEC=90°．

∴ OE⊥EC．

∴ CE是⊙O的切線． ……………………………………… 3分

（2）解：連接EF，

∵ AF是直徑，∴∠AEF=90°．

∵ ∠ACB=∠3，

∴ tan∠3=tan∠ACB=．………………………………………… 4分

在RtΔAEF中，∵ tan∠3=，∴ cos∠3=．

∴ AF==．  即 ⊙O的直徑等于．  ………………… 5分