Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c與y軸交于點C（0，-4），與x軸交于點A，B，且B點的坐標為（2，0）
（1）求該拋物線的解析式．
（2）若點P是AB上的一動點，過點P作PE∥AC，交BC于E，連接CP，求△PCE面積的最大值．
（3）若點D為OA的中點，點M是線段AC上一點，且△OMD為等腰三角形，求M點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）首先求出△PCE面積的表達式，然后利用二次函數的性質求出其最大值；
（3）△OMD為等腰三角形，可能有三種情形，需要分類討論．
解答：解：（1）把點C（0，-4），B（2，0）分別代入y=x²+bx+c中，
得，
解得
∴該拋物線的解析式為y=x²+x-4．

（2）令y=0，即x²+x-4=0，解得x₁=-4，x₂=2，
∴A（-4，0），S_△ABC=AB•OC=12．
設P點坐標為（x，0），則PB=2-x．
∵PE∥AC，
∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，
∴△PBE∽△ABC，
∴，即，
化簡得：S_△PBE=（2-x）²．
S_△PCE=S_△PCB-S_△PBE=PB•OC-S_△PBE=×（2-x）×4-（2-x）²
=x2-x+
=（x+1）²+3
∴當x=-1時，S_△PCE的最大值為3．

（3）△OMD為等腰三角形，可能有三種情形：
（I）當DM=DO時，如答圖①所示．
DO=DM=DA=2，
∴∠OAC=∠AMD=45°，
∴∠ADM=90°，
∴M點的坐標為（-2，-2）；
（II）當MD=MO時，如答圖②所示．
過點M作MN⊥OD于點N，則點N為OD的中點，
∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，
又△AMN為等腰直角三角形，∴MN=AN=3，
∴M點的坐標為（-1，-3）；
（III）當OD=OM時，
∵△OAC為等腰直角三角形，
∴點O到AC的距離為×4=，即AC上的點與點O之間的最小距離為．
∵＞2，∴OD=OM的情況不存在．
綜上所述，點M的坐標為（-2，-2）或（-1，-3）．
點評：本題是二次函數綜合題，考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、相似三角形、等腰三角形等知識點，以及分類討論的數學思想．第（2）問將面積的最值轉化為二次函數的極值問題，注意其中求面積表達式的方法；第（3）問重在考查分類討論的數學思想，注意三種可能的情形需要一一分析，不能遺漏．