Question

【題目】如圖，已知半圓O，AB為直徑，P為射線AB上一點，過點P作⊙O的切線，切點為C點，D為弧AC上一點，

連接BD、BC.

（1）求證：∠D=∠PCB；

（2）若四邊形CDBP為平行四邊形，求∠BPC度數；

（3）若AB=8，PB=2，求PC的長度.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）30°；(3)連接OC，PC=.

【解析】試題分析：（1）連接AC，OC，得∠OAC=∠OCA，由AB是直徑得∠OCA+∠OCB=90°由圓周角推論可得∠A=∠CDB，由切線性質可得∠OCB+∠PCB=90°，從而可得答案；

（2）由四邊形CDBP是平行四邊形得∠D=∠P，又∠D=∠BCP，∠D=∠A，所以∠A=∠BCP=∠P，再由AB是直徑得∠ACB=90°，然后再由三角形的內角和定理即可得解；

（3）由切線的性質得ΔOCP是直角三角形，再由勾股定理可求出PC的長.

試題解析：（1）如圖，連接AC，OC

∴∠D=∠A

∵AB是圓O的直徑

∴∠ACB=90°

∴∠ACO+∠OCB=90°

∵CP是切線

∴∠OCP=90°

∴∠OCB+∠PCB=90°

∴∠ACO=∠PCB

∵OA=OC

∴∠OAC=∠OCA

∴∠D=∠PCB;

(2)∵四邊形CDBP是平行四邊形

∴∠D=∠BPC

∴∠A=∠D=∠BPC=∠PCB

又∠A+∠ACB+∠BCP+∠BPC=180°,且∠ACB=90°

∴∠BPC=30°

(3)∵AB=8

∴OC=OB=4

在RtΔOCP中，OC=4，OP=OB+BP=4+2=6

∴PC=