Question

如圖所示，扇形OAB的半徑OA=r，圓心角∠AOB=90°，點C是

AB

上異于A、B的動點，過點C作CD⊥OA于點D，作CE⊥OB于點E，點M在DE上，DM=2EM，過點C的直線PC交OA的延長線于點P，且∠CPD=∠CDE．
（1）求證：DM=

2

3

r；
（2）求證：直線PC是扇形OAB所在圓的切線；
（3）設y=CD²+3CM²，當∠CPO=60°時，請求出y關于r的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）連接OC，由CD⊥OA于點D，CE⊥OB于點E，證明四邊形ODCE是矩形，
（2）設OC與DE交于點F，則在矩形ODCE中，FC=FD，根據角的關系得到PC⊥OC于點C，
（3）過C作CH⊥DE于點H，在Rt△OCD和Rt△CDH中解得CD、DH、CH，進而寫出y關于r的函數關系式．

解答：（1）證明：連接OC，
∵點C是

AB

上異于A、B的點，又CD⊥OA于點D，CE⊥OB于點E，
∴∠ODC=∠OEC=∠AOB=90°，
∴四邊形ODCE是矩形，
∴DE=OC．
∵OC=OA=r，
∴DE=r．
又∵DM=2EM，
∴DM=

2

3

DE=

2

3

r；

（2）證明：設OC與DE交于點F，則在矩形ODCE中，FC=FD，
∴∠CDE=∠DCO，
又∵∠CPD+∠PCD=90°，∠CPD=∠CDE，
∴∠DCO+∠PCD=90°，即PC⊥OC于點C，
又∵OC為扇形OAB的半徑，
∴PC是扇形OAB所在圓的切線；

（3）解：過C作CH⊥DE于點H
∵∠OCD=∠CDH=∠CPO=60°，
∴在Rt△OCD和Rt△CDH中，得
CD=

1

2

OC=

1

2

r，DH=

1

2

CD=

1

4

r，CH=

3

4

r．
又MH=DM-DH=

2

3

r-

1

4

r=

5

12

r，
∴在Rt△CMH中，得CM²=MH²+CH²=(

5

12

r)2+(

3

4

r)2=

13

36

r2，
則y=CD²+3CM²，
=(

1

2

r)2+3×

13

36

r²
=

4

3

r²．

點評：本題考查了切線的判定，勾股定理等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．