Question

【題目】如圖，在正方形ABCD外取一點E，連接AE，BE，DE．過點A作AE的垂線交ED于點P．若AE＝AP＝2，PB＝2．則正方形ABCD的面積是_____．

Answer 1

【答案】16+4

【解析】

首先利用已知條件根據邊角邊可以證明△APD≌△AEB，可得∠ADP＝∠ABE，∠DOA＝∠BOE，可證BE⊥DE，過B作BF⊥AE，交AE的延長線于F，如圖1，由勾股定理可求EF的長，即可求解．

如圖1：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠BAD＝90°，

∵∠PAE＝90°，

∴∠DAP＝∠BAE，

在△APD與△AEB中，

∴△APD≌△AEB（SAS），

∴∠ADP＝∠ABE，∠DOA＝∠BOE，

∵∠ADP+∠DOA＝90°，

∴∠ABE+∠BOE＝90°，

∴∠DEB＝90°，

過B作BF⊥AE，交AE的延長線于F，如圖2：

在△AEP中，AE＝AP＝2，根據勾股定理得PE＝2，

在△BEP中，PB＝2，PE＝2，

根據勾股定理得：BE＝，

∵∠BEF＝180°﹣45°﹣90°＝45°，

∴∠EBF＝45°，

∵BF⊥AF，

∴EF＝BF

∴EF＝BF＝，

∴AF＝2+，

∴正方形ABCD的面積＝AB2＝AF2+BF2＝16+4

故答案為：16+4