Question

（2011•惠山區模擬）提出問題：如圖，有一塊分布均勻的等腰三角形蛋糕（AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的邊緣均勻分布著巧克力，小明和小華決定只切一刀將這塊蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力質量都一樣）．
背景介紹：這條分割直線即平分了三角形的面積，又平分了三角形的周長，我們稱這條線為三角形的“等分積周線”．嘗試解決：
（1）小明很快就想到了一條分割直線，而且用尺規作圖作出．請你幫小明在圖1中畫出這條“等分積周線”，從而平分蛋糕．

（2）小華覺得小明的方法很好，所以自己模仿著在圖1中過點C畫了一條直線CD交AB于點D．你覺得小華會成功嗎如能成功，說出確定的方法；如不能成功，請說明理由．
（3）通過上面的實踐，你一定有了更深刻的認識．請你解決下面的問題：若AB=BC=5 cm，AC=6 cm，請你找出△ABC的所有“等分積周線”，并簡要的說明確定的方法．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等腰三角形三線合一的性質，作線段AC的中垂線BD即可．
（2）小華不會成功．直線CD可能平分△ABC的面積，若也平分周長，則AC=BC，與題中的AC≠BC沖突，故不會成功；
（3）①若直線經過頂點，則AC邊上的中垂線即為所求．②若直線不過頂點，可分以下三種情況考慮：（a）直線與BC、AC分別交于E、F，CF=5，CE=3；（b）直線與AB、AC分別交于M、N，AM=3，AN=5，（c）直線與AB、BC分別交于P、Q，此種情況不存在．則符合條件的直線共有三條．
解答：解：（1）作線段AC的中垂線BD即可．（2分）
（2）小華不會成功．
若直線CD平分△ABC的面積
那么S_△ADC=S_△DBC
∴AD•CE=BD•CE
∴BD=AD（4）
∵AC≠BC
∴AD+AC≠BD+BC
∴小華不會成功．（5分）

（3）①若直線經過頂點，則AC邊上的中垂線即為所求．（6分）
②若直線不過頂點，可分以下三種情況：
（a）直線與BC、AC分別交于E、F，如圖所示

過點E作EH⊥AC于點H，過點B作BG⊥AC于點G
易求，BG=4，AG=CG=3
設CF=x，則CE=8-x
由△CEH∽△CBG，可得EH=
根據面積相等，可得（7分）
∴x=3（舍去，即為①）或x=5
∴CF=5，CE=3，直線EF即為所求直線．（8分）
（b）直線與AB、AC分別交于M、N，如圖所示，

由（a）可得，AM=3，AN=5，直線MN即為所求直線．
（仿照上面給分）
（c）直線與AB、BC分別交于P、Q，如圖所示

過點A作AY⊥BC于點Y，過點P作PX⊥BC于點X
由面積法可得，AY=，
設BP=x，則BQ=8-x，
由相似，可得PX=，
根據面積相等，可得（11分），
∴（舍去）或．
而當BP=時，BQ=，舍去．
∴此種情況不存在．（12分）
綜上所述，符合條件的直線共有三條．
（注：若直接按與兩邊相交的情況分類，也相應給分）
點評：此題綜合性較強，運用了分類討論的數學思想．