Question

27、如圖，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF．
（1）請你判斷AD是△ABC的中線還是角平分線？并證明你的結論．
（2）在（1）的條件下，若AB=6，AC=4，請確定AD的值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據題目所給的條件能證明△BED和△CFD全等，所以D是中點；過點B作BG∥AC交AD延長線于點G，
（2）根據三角形第三邊大于兩邊之差小于兩邊之和，可確定AD的范圍．

解答：解：（1）AD是△ABC的中線．（1分）
理由如下：
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED=∠CFD=90°
又∵BE=CF，∠BDE=∠CFD
∴△BDE≌△CFD（AAS）
∴BD=CD，即AD是△ABC的中線．（4分）
（2）過點B作BG∥AC交AD延長線于點G
∴∠GBD=∠ACD，（5分）
又∵AD是中線，∠BDG=∠ADC，
∴△BDG≌△CDA（ASA），
∴BG=AC=4，AD=GD，（6分）
在△ABG中，AB=6，根據三角形三邊關系，
∴2＜AG＜10，
∴1＜AD＜5．（7分）

點評：本題考查全等三角形的判定和性質以及三角形三邊關系的性質．