Question

（2001•湖州）己知如圖，正△ABC的邊長為2，B，C在x軸的正半軸上，A在第一象限，直線經過A點，以BC為直徑的⊙M交AB于E．
（1）求A點的坐標；
（2）求證：OE與⊙M相切；
（3）試各寫出一個頂點在⊙M內、⊙M上、⊙M外，且經過B、C兩點的拋物線的解析式．（只需寫出解析式，不需書寫求解過程）．

Answer 1

【答案】分析：（1）可在直角三角形BMA中，根據等邊三角形的邊長和∠ABC的正弦值求出AM的長即A點的縱坐標，然后代入直線的解析式中即可求出A點的坐標；
（2）連接ME，證ME⊥OE即可．易知三角形BEM是等邊三角形，那么BE=BM，根據A點的坐標可求出B點的坐標，由此可證得AB=BM，因此證出了BE=OM，由此得證；
（3）根據圓和拋物線的對稱性可知：拋物線的對稱軸必過M點，因此只需找出拋物線與圓的兩個交點坐標，易知：（2，1）（2，-1）．據此來求拋物線的解析式．
解答：（1）解：連接AM，在直角三角形ABM中，AB=2，∠ABC=60°，
因此BM=1，AM=．
將y=代入直線解析式中：=x+-1，x=2
∴A（2，）

（2）證明：由（1）可知：BM=1，
因此OB=OM-BM=2-1=1，
因此BM=OB
連接ME，∵MB=ME，∠ABC=60°，
∴△BME是等邊三角形．
∴BE=OB=BM，
∴∠OME=∠EBM=∠BEM=60°，
∴∠OBE=120°，
∴∠EOB=∠BEO=30°，
∴∠OEM=90°，
∴OE是圓M的切線．

（3）解：當頂點在圓上時，拋物線的解析式為y=±（x²-4x+3），其他兩種情況答案不唯一．
點評：本題考查了等邊三角形的性質、解直角三角形、切線的判定等知識點．