Question

下面說法正確的是個數有（　　）
①如果三角形三個內角的比是1：2：3，那么這個三角形是直角三角形；
②如果三角形的一個外角等于與它相鄰的一個內角，則這么三角形是直角三角形；
③如果一個三角形的三條高的交點恰好是三角形的一個頂點，那么這個三角形是直角三角形；
④如果∠A=∠B=

1

2

∠C，那么△ABC是直角三角形；
⑤若三角形的一個內角等于另兩個內角之差，那么這個三角形是直角三角形；
⑥在△ABC中，若∠A+∠B=∠C，則此三角形是直角三角形．

A．3個

B．4個

C．5個

D．6個

Answer 1

分析：①先設三角形的三個內角分別為x，2x，3x，再根據三角形內角和定理列出關于x的方程，求出x的值即可作出判斷；
②根據兩角互補的定義即可得出結論；
③根據直角三角形的性質即可直接得出結論；
④設∠A=∠B=x，則∠C=2x，再由三角形內角和定理列出關于x的方程，求出x的值即可作出判斷；
⑤根據三角形的外角性質和已知條件可得：這個三角形中有一個內角和它相鄰的外角是相等的；又因為外角與它相鄰的內角互補，可得一個內角一定是90°，即可判斷此三角形的形狀；
⑥同⑤即可得出結論．

解答：解：①∵三角形三個內角的比是1：2：3，
∴設三角形的三個內角分別為x，2x，3x，
∴x+2x+3x=180°，解得x=30°，
∴3x=3×30°=90°，
∴此三角形是直角三角形，故本小題正確；
②∵三角形的一個外角與它相鄰的一個內角的和是180°，
∴若三角形的一個外角等于與它相鄰的一個內角，則此三角形是直角三角形，故本小題正確；
③∵直角三角形的三條高的交點恰好是三角形的一個頂點，
∴若三角形的三條高的交點恰好是三角形的一個頂點，那么這個三角形是直角三角形，故本小題正確；
④∵∠A=∠B=

1

2

∠C，
∴設∠A=∠B=x，則∠C=2x，
∴x+x+2x=180°，解得x=45°，
∴2x=2×45°=90°，
∴此三角形是直角三角形，故本小題正確；
⑤∵三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩內角之和，三角形的一個內角等于另兩個內角之差，
∴三角形一個內角也等于另外兩個內角的和，
∴這個三角形中有一個內角和它相鄰的外角是相等的，且外角與它相鄰的內角互補，
∴有一個內角一定是90°，故這個三角形是直角三角形，故本小題正確；
⑥∵三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩內角之和，又一個內角也等于另外兩個內角的和，
由此可知這個三角形中有一個內角和它相鄰的外角是相等的，且外角與它相鄰的內角互補，
∴有一個內角一定是90°，故這個三角形是直角三角形，故本小題正確．
故選D．

點評：本題考查的是三角形內角和定理及三角形外角的性質，熟知三角形的內角和是180°是解答此題的關鍵．