Question

已知：如圖，在△ABC中，E是內心，延長AE交△ABC的外接圓于點D，弦AD交弦BC于點F．
（1）求證：DE=DB；
（2）當點A在優弧BC上運動時，若DE=2，DF=y，AD=x，求y與x之間的函數關系．

Answer 1

解：（1）連接BE，
∵E為內心，
∴AE，BE分別為∠BAC，∠ABC的角平分線，
∴∠BED=∠BAE+∠EBA，∠EBA=∠EBC，∠BAE=∠EAC，
∴∠BED=∠EBC+∠EAC，∠EBD=∠EBC+∠CBD，
∵弧DC=弧DC，
∴∠EAC=∠CBD，
∴∠EBD=∠BED，
∴DE=BD；

（2）由（1）得∠DBC=∠DAC，∠BAD=∠CAD，
∴∠DBC=∠BAD，
∵∠BDA為共公角，
∴△BDF∽△ADB，
∴，
∴BD²=AD×DF，
∵DF=y，AD=x，DE=2，
∴xy=4，
∴y與x之間的關系式y=．
分析：（1）首先連接BE，由E是內心，易證得∠BED=∠EBC+∠EAC，∠EBD=∠EBC+∠CBD，又由同弧所對的圓周角相等，證得∠EAC=∠CBD，則可得∠EBD=∠BED，即可證得DE=BD；
（2）首先根據有兩角對應相等的三角形相似，證得△BDF∽△ADB，則可證得：BD²=AD×DF，將已知線段的長代入即可求得x與y的關系式．
點評：此題考查了圓的內心的性質與三角形相似的判定與性質等知識．此題綜合性較強，注意數形結合思想的應用．