Question

實數k取何值時，一元二次方程x²-（2k-3）x+2k-4=0
（1）有兩個正根；
（2）有兩個異號根，且正根的絕對值較大；
（3）一個根大于3，一個根小于3．

Answer 1

分析：（1）根據一元二次方程有兩個實根，則判別式△≥0，并且兩根的和大于0，且兩根的積大于0，根據一元二次方程的根與系數的關系即可得到關于k的不等式組，即可求得k的范圍；
（2）根據一元二次方程有兩個不相等的實根，則判別式△＞0，并且正根的絕對值較大，則兩根的和大于0，且兩根的積小于0，根據一元二次方程的根與系數的關系即可得到關于k的不等式組，即可求得k的范圍；
（3）設方程的兩個根分別是x₁、x₂，根據題意，得（x₁-3）（x₂-3）＜0，根據一元二次方程根與系數的關系即可求得k的取值范圍，再根據△＞0確定k的范圍．

解答：解：（1）設方程的兩個正根為x₁、x₂，則：
△=（2k-3）²-4（2k-4）≥0 ①，
x₁+x₂=2k-3＞0，x₁x₂=2k-4＞0 ②，
解①，得：k為任意實數，
解②，得：k＞2，
所以k的取值范圍是k＞2；

（2）設方程的兩個根為x₁、x₂，則：
△=（2k-3）²-4（2k-4）＞0 ①，
x₁+x₂=2k-3＞0，x₁x₂=2k-4＜0 ②，
解①，得：k≠

5

2

，
解②，得：

3

2

＜k＜2，
所以k的取值范圍是

3

2

＜k＜2；

（2）設方程的兩個根為x₁、x₂，則：
△=（2k-3）²-4（2k-4）＞0 ①，
（x₁-3）（x₂-3）＜0 ②，
解①，得：k≠

5

2

，
由②，得：x₁x₂-3（x₁+x₂）+9＜0，
又x₁+x₂=2k-3＞0，x₁x₂=2k-4，
代入整理，得-4k+14＜0，
解得k＞

7

2

．
則k＞

7

2

．

點評：此題主要是一元二次方程根的判別式及根與系數的關系的運用，在已知方程的一根x₁比常數a大，一根x₂比常數a小的時候，可列（x₁-a）（x₂-a）＜0的不等式分析求解．