Question

已知：如圖所示，在△ABC中，M是BC邊上的中點．
求證：AM＜

1

2

（AB+AC）．

Answer 1

分析：延長AM到D，使MD=AM，連CD，根據SAS證△ABM≌△DCM，推出AB=CD，在△ACD中，根據三角形的三邊關系定理得出AD＜AC+CD，代入求出即可．

解答：證明：延長AM到D，使MD=AM，連CD，
∵AM是BC邊上的中線，
∴BM=CM，
∵在△ABM和△DCM中
∵

BM=CM ∠AMB=∠DMC AM=DM

，
∴△ABM≌△DCM（SAS）
∴AB=CD，
在△ACD中，則AD＜AC+CD，
即2AM＜AC+AB，
∴AM＜

1

2

（AB+AC）．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形的三邊關系定理，解此題的關鍵是通過作輔助線把要求的線段放在一個三角形中，題目比較好．