Question

(本題10分) 

已知一次函數y＝的圖象與x軸交于點A．與軸交于點；二次函數圖象與一次函數y＝的圖象交于、兩點，與軸交于、兩點且的坐標為

（1）求二次函數的解析式；

（2）在軸上是否存在點P，使得△是直角三角形？若存在，求出所有的點，若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

 

（1）

（2）滿足條件的點P有四個，分別是(1,0)(3,0)(0.5,0) (5.5,0)

解析:解：（1）∵ 由題意知:當x=0時,y=1, ∴B（0，1）, …………1分

由點的坐標為當x=1時,y=0

∴解得,…………3分

所以     …………4分

（2）存在；設P(a,0),

①P為直角頂點時,如圖,過C作CF⊥x軸于F, ∵Rt△BOP∽Rt△PFC,

由題意得，AD＝6，OD＝1，易知，AD∥BE，

∴．即,               …………5分

整理得:a2－4a+3=0,解得a=1或a=3,   此時所求P點坐標為(1,0)或(3,0). …………7分

②若B為直角頂點，則有PB²+BC²=PC²既有   1²+a²+4²+2²=3²+(4-a) ²

解得 a=0.5此時所求P點坐標為(0.5,0)    ……8分

③若C為直角頂點，則有PC²+BC²=PB²既有  3²+(4-a) ² +4²+2²=1²+a²

解得 a=5.5此時所求P點坐標為(5.5,0)    ……9分

綜上所述，滿足條件的點P有四個，分別是(1,0)(3,0)(0.5,0)(5.5,0)。……10分