Question

如圖，梯形ABCD在平面直角坐標系中，上底AD平行于x軸，下底BC交y軸于點E，點C（4，-2），點D（1，2），BC=9，sin∠ABC=

4

5

．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若點H的坐標為（-1，-1），動點G從B出發，以1個單位/秒的速度沿著BC邊向C點運動（點G可以與點B或點C重合），求△HGE的面積S（S≠0）隨動點G的運動時間t′秒變化的函數關系式（寫出自變量t′的取值范圍）．

Answer 1

分析：（1）過點A作AF⊥BC于點F，由四邊形ADCE是梯形，C（4，-2），點D（1，2）可知AF=2+2=4，再由sin∠ABC=

4

5

可求出AB的長，由BC=9可得出B點坐標，設A（x，2），利用兩點間的距離公式可求出A點坐標，用待定系數法求出直線AB的解析式；
（2）先根據BC兩點的坐標求出BE及CD的長，再根據點G在E點的左側與右側兩種情況得出△HGE的面積S（S≠0）隨動點G的運動時間t′秒變化的函數關系式即可．

解答：解：（1）如圖1，過點A作AF⊥BC于點F，
∵四邊形ADCE是梯形，C（4，-2），點D（1，2），
∴AF=2+2=4，
∵sin∠ABC=

4

5

，
∴AB=

AF

sin∠ABC

=

4

4 5

=5，
∵BC=9，C（4，-2），
∴B（-5，-2），
設A（x，2），
∴AB=

(x+5)2+(2+2)2

=5，解得x=-2或x=-8（舍去），
∴A（-2，2），
設直線AB的解析式為y=kx+b，則

-2k+b=2 -5k+b=-2

，
解得

k= 4 3 b= 14 3

，
故直線AB的解析式為：y=

4

3

x+

14

3

；

（2）如圖2，
∵B（-5，-2），C（4，-2），
∴BE=5，CE=4，
設運動時間為t′秒，
當點G在E點左側時，
S_△HGE=

1

2

（5-t′）×1=

5

2

-

t′

2

（0≤t′＜5）；
當點G在E點右側時，
S_△HGE=

1

2

（t′-5）×1=

t′

2

-

5

2

（t′＞5）．

點評：本題考查的是一次函數綜合題，涉及到銳角三角函數的定義、用待定系數法求一次函數的解析式、三角形的面積公式及梯形的性質，在解答（2）時要注意分類討論，不要漏解．