Question

已知二次函數y=a（x+1）²+m的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于C，頂點為M，直線MC的解析式為y=kx-3，且直線MC與x軸交于點N，sin∠BCO=．
（1）求直線MC及二次函數的解析式；
（2）在二次函數的圖象上是否存在點P（異于點C），使以點P、N、C為頂點的三角形是以NC為一條直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由直線MC的解析式y=kx-3，得C（0，-3）．
設OB=t，
∵sin∠BCO===，
∴BC=t，則OC=3t．
∵OC=3，∴3t=3，
∴t=1．∴OB=1．
∵點B（1，0），C（0，-3）都在二次函數的圖象上，
∴，解得a=1，m=-4，
∴二次函數的解析式為：y=x²+2x-3．
∵點M（-1，-4）在直線MC上，
∴-4=-k-3即k=1．
∴直線MC的解析式為：y=x-3；

（2）存在這樣的點P．
①由于∠CNO=45°，則N（3，0），在y軸上取點D（0，3），連接ND交拋物線于點P（如圖）．
∴PNC=90°．
直線ND的解析式為：y=-x+3．
解方程組，
解得，；
②由于點A是二次函數圖象與x軸的另一交點，故A（-3，0）．連接AC（如圖），∠ACN=90°，點A就是所求的點
P（-3，0）．
綜上，滿足條件的點為P₁（-3，0），P₂（，），P₃（，）．
分析：（1）由直線MC的解析式y=kx-3得C（0，-3），在Rt△BOC中，已知OC=3，解直角三角形求B點坐標及m的值，確定M點的坐標，再求直線MC的解析式；
（2）存在這樣的點P．根據直線MC的解析式，判斷△CON為等腰直角三角形，再分別過N、C兩點作直線CN的垂線，與拋物線相交，求垂線的解析式，聯立垂線解析式與二次函數解析式，求P點坐標．
點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是運用待定系數法，解直角三角形求直線、拋物線解析式，根據拋物線上點的坐標特點，形數結合，分類討論求P點坐標．