Question

已知：如圖，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足為點E，點D與點A關于點E對稱，PB分別與線段CF、AF相交于點P、M.  
(1)求證：AB= CD；
(2)若∠BAC =2∠MPC，請你判斷∠F與∠MCD的數(shù)量關系，并說明理由．  

Answer 1

(1)證明：∵AF平分∠BAC，
∴∠CAD= ∠DAB=∠BAC．
∵點D與點A關于點E對稱∴E為AD中點． BC⊥AD，
∴BC為AD的中垂線，
∴AC= CD
∵在Rt△ACE和Rt△ABE中，∠CAD+∠ACE=∠DAB+ ∠ABE =．∠CAD= ∠DAB.
∴∠ACE= ∠ABE，
∴AC =AB，
∴AB= CD.
  (2)∵∠BAC =2∠MPC，
又∵∠BAC =2∠CAD,
∴∠MPC=∠CAD．
∵AC= CD,
∴∠CAD=∠CDA,
∵∠MPC=∠CDA.
∴∠MPF=∠CDM，
∵AC =AB,AE⊥BC,
∴CE= BE，
∴AM為BC的中垂線，
∴CM=BM
∵EM⊥BC,
∴EM平分∠CMB，（等腰三角形三線合一）
∴∠CME=∠BME．
∴∠BME= ∠PMF,∠PMF=∠CME,
∴∠MCD= ∠F(三角形內角和)．