Question

某大學生利用暑假40天社會實踐參與了一家網店的經營，了解到一種成本為20元/件的新型商品在x天銷售的相關信息如表所示．

銷售量p（件）	p=50-x
銷售單價q（元/件）	當1≤x≤20時，q=30+x 當21≤x≤40時，q=20+

（1）請計算第幾天該商品的銷售單價為35元/件？
（2）求該網店第x天獲得的利潤y關于x的函數關系式；
（3）這40天中該網店第幾天獲得的利潤最大？最大的利潤是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）在每個x的取值范圍內，令q=35，分別解出x的值即可；
（2）利用利潤=售價-成本，分別求出在1≤x≤20和21≤x≤40時，y與x的函數關系式；
（3）當1≤x≤20時，y=-x²+15x+500=-（x-15）²+612.5，求出一個最大值y₁，當21≤x≤40時，求出一個最大值y₂，然后比較兩者的大�。�
解答：解：（1）當1≤x≤20時，令30+x=35，得x=10，
當21≤x≤40時，令20+=35，得x=35，經檢驗得x=35是原方程的解且符合題意
即第10天或者第35天該商品的銷售單價為35元/件．

（2）當1≤x≤20時，y=（30+x-20）（50-x）=-x²+15x+500，
當21≤x≤40時，y=（20+-20）（50-x）=-525，
即y=，

（3）當1≤x≤20時，y=-x²+15x+500=-（x-15）²+612.5，
∵-＜0，
∴當x=15時，y有最大值y₁，且y₁=612.5，
當21≤x≤40時，∵26250＞0，
∴隨x的增大而減小，
當x=21時，最大，
于是，x=21時，y=-525有最大值y₂，且y₂=-525=725，
∵y₁＜y₂，
∴這40天中第21天時該網站獲得利潤最大，最大利潤為725元．
點評：本題主要考查二次函數的應用的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握二次函數的性質和反比例函數的性質以及最值得求法，此題難度不大．