Question

如圖，n+1個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設△B₂D₁C₁的面積為S₁，△B₃D₂C₂的面積為S₂，…，△B_n+1D_nC_n的面積為S_n，則S₂=    ；S_n=    ．（用含n的式子表示）

Answer 1

【答案】分析：由三角形的相似性可求得S₂、S₃、S₄的值，則Sn的值也可用含n的式子表示出來．
解答：解：由于各三角形為等邊三角形，且各邊長為2，過各三角形的頂點B₁、B₂、B₃…向對邊作垂線，垂足為M₁、M₂、M₃，
∵△AB₁C₁是等邊三角形，
∴AD₁=AC₁•sin60°=2×=，
∵△B₁C₁B₂也是等邊三角形，
∴C₁B₁是∠AC₁B₂的角平分線，
∴AD₁=B₂D₁=，
故S₁=S_△B2C1A-S_△AC1D1=×2×-×2×=；
S₂=S_△B3C2A-S_△AC2D2=×4×-×4×=；
作AB∥B₁C₁，使AB=AB₁，連接BB₁，則B₂，B₃，…B_n在一條直線上．
∵B_n C_n∥AB，
∴==，
∴B_nD_n=•AD=，
則D_nC_n=2-BnDn=2-=．
△B_nC_nB_n+1是邊長是2的等邊三角形，因而面積是：．
△B_n+1D_nC_n面積為S_n=•=•=．
即第n個圖形的面積Sn=．
點評：本題考查了相似三角形的性質，題目新穎，同學們要好好掌握．