Question

已知矩形紙片ABCD中，AB=2，BC=3．
操作：將矩形紙片沿EF折疊，使點B落在邊CD上．
探究：
（1）如圖1，若點B與點D重合，你認為△EDA₁和△FDC全等嗎？如果全等給出證明，如果不全等請說明理由；
（2）如圖2，若點B與CD的中點重合，求△FCB₁和△B₁DG的周長之比．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據ASA可以證明兩個三角形全等；
（2）設CF=x，則BF=3-x，根據折疊的性質得B₁F=BF=3-x，再進一步根據勾股定理求得x的值；根據相似三角形的判定可以證明△FCB₁和△B₁DG相似，再根據相似三角形的周長的比等于相似比進行求解．
解答：解：（1）全等．理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，
由題意知：∠A=∠A₁，∠B=∠A₁DF=90°，AB=A₁D
∴∠A₁=∠C=90°，∠CDF+∠EDF=90°，
∴∠A₁DE=∠CDF，
∴△EDA₁≌△FDC（ASA）；

（2）∵∠DG B₁+∠D B₁G=90°，∠D B₁G+∠C B₁F=90°，
∴∠DG B₁=∠C B₁F，
∵∠D=∠C=90°，
∴△FC B₁∽△B₁DG．
設FC=x，則B₁F=BF=3-x，B₁C=DC=1，
∴x²+1²=（3-x）²，
∴，
∵△FCB₁∽△B₁DG，
∴．
點評：此題綜合運用了全等三角形的判定、相似三角形的判定及性質，綜合性較強．