Question

如圖，已知⊙O的半徑為1，PQ是⊙O的直徑，n個相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都關于PQ對稱，其中第一個△A₁B₁C₁的頂點A₁與點P重合，第二個△A₂B₂C₂的頂點A₂是B₁C₁與PQ的交點，…，最后一個△A_nB_nC_n的頂點B_n、C_n在圓上．

（1）如圖1，當n=1時，求正三角形的邊長a₁；
（2）如圖2，當n=2時，求正三角形的邊長a₂；
（3）如題圖，求正三角形的邊長a_n（用含n的代數式表示）

Answer 1

分析：（1）設PQ與B₁C₁交于點D，連接B₁O，得出OD=A₁D-OA₁，用含a₁的代數式表示OD，在△OB₁D中，根據勾股定理求出正三角形的邊長a₁；
（2）設PQ與B₂C₂交于點E，連接B₂O，得出OE=A₁E-OA₁，用含a₂的代數式表示OE，在△OB₂E中，根據勾股定理求出正三角形的邊長a₂；
（3）設PQ與B_nC_n交于點F，連接B_nO，得出OF=A₁F-OA₁，用含a_n的代數式表示OF，在△OB_nF中，根據勾股定理求出正三角形的邊長a_n．

解答：解：（1）設PQ與B₁C₁交于點D，連接B₁O．
∵△PB₁C₁是等邊三角形，
∴A₁D=PB₁•sin∠PB₁C₁=a₁•sin60°=

3

2

a₁，
∴OD=A₁D-OA₁=

3

2

a₁-1，
在△OB₁D中，OB₁²=B₁D²+OD²，
∴OD=A₁D-OA₁=

3

2

a₁-1，
即1²=（

1

2

a₁）²+（

3

2

a₁-1）²，
解得a₁=

3

；

（2）設PQ與B₂C₂交于點E，連接B₂O．
∵△A₂B₂C₂是等邊三角形，
∴A₂E=A₂B₂•sin∠A₂B₂C₂=a₂•sin60°=

3

2

a₂，
∵△PB₁C₁是與△A₂B₂C₂邊長相等的正三角形，
∴PA₂=A₂E=

3

2

a₂，
OE=A₁E-OA₁=

3

a₂-1，
在△OB₂E中，OB₂²=B₂E²+OE²，
即1²=（

1

2

a₂）²+（

3

a₂-1）²，
解得a₂=

8 3

13

；

（3）設PQ與B_nC_n交于點F，連接B_nO，
得出OF=A₁F-OA₁=

3

2

na_n-1，
同理，在△OB_nF中，OB_n²=B_nF²+OF²，
即1²=（

1

2

a_n）²+（

3

2

na_n-1）²，
解得a_n=

4 3 n

3n2+1

．

點評：主要考查了等邊三角形的性質，勾股定理等知識點．本題中（1）（2）是特殊情況，注意在證明過程中抓住不變條件，從而為證明（3）提供思路和方法．本題綜合性強，難度大，有利于培養學生分析、解決問題的能力．