Question

【題目】在中，，，將繞頂點順時針旋轉，旋轉角為，得到．

（1）如圖1，當時，設與相交于點，求證是等邊三角形；

（2）如圖2，設中點為，中點為，，連接．在旋轉過程中，線段的長度是否存在最大值？如果存在，請求出這個最大值并說明此時旋轉角的度數，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）線段EP的長度存在最大值，最大值EP=，θ=120°

【解析】

（1）首先利用平行線的性質和旋轉不變性可證得∠BCB=∠CBA=∠CBA=30°，據此可求得∠ACD、∠ADC，至此即可證明結論；
（2）連接CP，根據旋轉的性質可得∠A=∠A=90°-30°=60°，AC=AC，根據題意可得
CP=，CE=，至此在△ECP中，根據三角形的三邊關系進行求解即可

解：（1）證明:根據旋轉的性質可得∠CBA=∠CBA=30°
∵AB//CB
∴∠BCB=∠CBA=30°，

∴∠ACB=90°，∠CAB=60°，

∵∠ACD+∠BCB=90°
∴∠ACB=60°
∴△ACD是等邊三角形；

（2）存在．理由如下：
如解圖1，連接CP，根據旋轉的性質可得
∠A=∠A=90°-30°=60°， AC=AC
∵∠A=60°，AB中點為P，AC=， AC=AC,

∴CP=AB=·2=

∴在△ECP中，EP＜EC+CP=+=

即EP＜

∴當E、F、C共線時，如解圖2， PE最長

∴∠ACA=180°-∠PCA=180°-60°=120°

∴EP最長為，旋轉角θ為120°．