Question

（2012•百色）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+6經過點A（-3，0）和點B（2，0）．直線y=h（h為常數，且0＜h＜6）與BC交于點D，與y軸交于點E，與AC交于點F，與拋物線在第二象限交于點G．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接BE，求h為何值時，△BDE的面積最大；
（3）已知一定點M（-2，0）．問：是否存在這樣的直線y=h，使△OMF是等腰三角形？若存在，請求出h的值和點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線y=ax²+bx+6經過點A（-3，0）和點B（2，0），利用待定系數法即可求得拋物線的解析式；
（2）首先利用待定系數法求得經過點B和點C的直線的解析式，由題意可得點E的坐標為（0，h），則可求得點D的坐標為（

6-h

3

，h），則可得S_△BDE=

1

2

•OE•DE=

1

2

•h•

6-h

3

=-

1

6

（h-3）²+

3

2

，然后由二次函數的性質，即可求得△BDE的面積最大；
（3）分別從①若OF=OM，則

( h-6 2 )2+h2

=2、②若OF=MF，則

( h-6 2 )2+h2

=

( h-6 2 +2)2+h2

與③若MF=OM，則

( h-6 2 )2+h2

=

( h-6 2 +2)2+h2

去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+6經過點A（-3，0）和點B（2，0），
∴

9a-3b+6=0 4a+2b+6=0

．
解得：

a=-1 b=-1

．
∴拋物線的解析式為y=-x²-x+6．

（2）∵把x=0代入y=-x²-x+6，得y=6．
∴點C的坐標為（0，6）．
設經過點B和點C的直線的解析式為y=mx+n，則

2m+n=0 n=6

，
解得

m=-3 n=6

．
∴經過點B和點C的直線的解析式為：y=-3x+6．
∵點E在直線y=h上，
∴點E的坐標為（0，h）．
∴OE=h．
∵點D在直線y=h上，
∴點D的縱坐標為h．
把y=h代入y=-3x+6，得h=-3x+6．
解得x=

6-h

3

．
∴點D的坐標為（

6-h

3

，h）．
∴DE=

6-h

3

．
∴S_△BDE=

1

2

•OE•DE=

1

2

•h•

6-h

3

=-

1

6

（h-3）²+

3

2

．
∵-

1

6

＜0且0＜h＜6，
∴當h=3時，△BDE的面積最大，最大面積是

3

2

．

（3）存在符合題意的直線y=h．
設經過點A和點C的直線的解析式為y=kx+p，則

-3k+p=0 p=6

，
解得

k=2 p=6

．
故經過點A和點C的直線的解析式為y=2x+6．
把y=h代入y=2x+6，得h=2x+6．
解得x=

h-6

2

．
∴點F的坐標為（

h-6

2

，h）．
在△OFM中，OM=2，OF=

( h-6 2 )2+h2

，MF=

( h-6 2 +2)2+h2

．
①若OF=OM，則

( h-6 2 )2+h2

=2，
整理，得5h²-12h+20=0．
∵△=（-12）²-4×5×20=-256＜0，
∴此方程無解．
∴OF=OM不成立．
②若OF=MF，則

( h-6 2 )2+h2

=

( h-6 2 +2)2+h2

，
解得h=4．
把y=h=4代入y=-x²-x+6，得-x²-x+6=4，
解得x₁=-2，x₂=1．
∵點G在第二象限，
∴點G的坐標為（-2，4）．
③若MF=OM，則

( h-6 2 +2)2+h2

=2，
解得h₁=2，h₂=-

6

5

（不合題意，舍去）．
把y=h₁=2代入y=-x²-x+6，得-x²-x+6=2．
解得x₁=

-1- 17

2

，x₂=

-1+ 17

2

．
∵點G在第二象限，
∴點G的坐標為（

-1- 17

2

，2）．
綜上所述，存在這樣的直線y=2或y=4，使△OMF是等腰三角形，當h=4時，點G的坐標為（-2，4）；當h=2時，點G的坐標為（

-1- 17

2

，2）．

點評：此題考查了待定系數法求函數的解析式、二次函數的性質以及等腰三角形的性質．此題難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想與數形結合思想的應用．