Question

（2013•平頂山二模）已知正比例函數(shù)y=2x的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）在第一象限的圖象交于A點，過A點作x軸的垂線，垂足為P點，已知△OAP的面積為

1

2

．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）如果點B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點（點B與點A不重合），且點B的橫坐標為1，在x軸上求一點M，使MA+MB最小．

Answer 1

分析：反比例函數(shù)圖象上任一點向橫軸和縱軸做垂線，垂線段和橫縱軸所圍成矩形的面積即為k的絕對值，由圖象分布的象限可求得K的值，由解析式可求得點的坐標，由點的坐標用待定系數(shù)法可求得函數(shù)解析式．
（1）設A點坐標為（x，y）則OP=x，PA=y，根據(jù)△OAP的面積為

1

2

可得xy=1，再由點A在反比例函數(shù)圖象上，可知k=xy=1，即可得到反比例函數(shù)關系式；
（2）作A關于x軸的對稱點A′，連接A′B，交x軸于M點，這時MA+MB最小．首先求出B點坐標，再利用函數(shù)關系式算出A、A′的坐標，再利用A、B兩點坐標利用待定系數(shù)法算出直線AB的函數(shù)解析式，最后根據(jù)函數(shù)解析式求出M點坐標即可．

解答：（1）設A點坐標為（x，y）由題意可知OP=x，PA=y
∴S_△AOP=

1

2

xy=

1

2

，
∴xy=1，
∵點A在反比例函數(shù)圖象上，
∴k=xy=1，
∴y=

1

x

；

（2）作A關于x軸的對稱點A′，連接A′B，交x軸于M點，這時MA+MB最小．
∵點B的橫坐標是1，
∴點B的縱坐標是y=

1

1

=1，
∴B（1，1），
∵A點是正比例函數(shù)y=2x的圖象與反比例函數(shù)y=

1

x

的圖象交點，
∴2x=

1

x

，
解得x=±

2

2

，
∵點A在第一象限，
∴A點的橫坐標是

2

2

，
∴點A的坐標（

2

2

，

2

），
∴點A關于x軸對稱的點A′的坐標是（

2

2

，-

2

），
設直線A′B的解析式為y=kx+b，把點A、B的坐標代入得：

k+b=1 2 2 k+b=- 2

，
解之得

k=4+3 2 b=-3-3 2

，
∴直線AB的解析式為y=（4+3

2

）x-3-3

2

，
當y=0時，x=

3+3 2

4+3 2

=

6-3 2

2

，
故M（

6-3 2

2

，0）．

點評：此題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象和性質，軸對稱的性質，待定系數(shù)法求解析式，解決此題的難點是確定M點的位置，在直線L上的同側有兩個點A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點．