Question

西湖龍井茶名揚中外．小葉是某龍井茶葉有限公司產品包裝部門的設計師．
如圖1是用矩形厚紙片（厚度不計）做長方體茶葉包裝盒的示意圖，陰影部分是裁剪掉的部分．沿圖中實線折疊做成的長方體紙盒的上下底面是正方形，有三處矩形形狀的“接口”用來折疊后粘貼或封蓋．
（1）小葉用長40cm，寬34cm的矩形厚紙片，恰好能做成一個符合要求的包裝盒，盒高是盒底邊長的2.5倍，三處“接口”的寬度相等．則該茶葉盒的容積是多少？
（2）如圖2是小葉設計出的一款茶葉包裝，它的里面是由四個圓柱體茶葉罐包裝而成的龍井茶．現有一張60cm×44cm的矩形厚紙片，按如圖3所示的方法設計包裝盒，用來包裝四個圓柱體茶葉罐，已知該種的茶葉罐高是底面直徑1.5倍，要求包裝盒“接口”的寬度為2cm（如有多余可裁剪），問這樣的茶葉罐底面直徑最大可以為多少？

Answer 1

分析：（1）設“接口”的寬度為xcm，盒底邊長為ycm，根據盒高是盒底邊長的2.5倍，則有盒高為2.5ycm，如圖1所示，根據圖形列出關于x與y的二元一次方程組，求出方程組的解得到x與y的值，進而確定出茶葉盒的底面邊長和高，即可求出茶葉盒的體積；
（2）設瓶底直徑為dcm，根據茶葉罐高是底面直徑1.5倍，可得茶葉罐高是1.5dcm，如圖3所示，根據圖形列出關于d的一元一次不等式組，求出不等式組的解集，根據解集即可求出d的最大值，即為茶葉罐底面直徑最大值．

解答：
解：（1）設“接口”的寬度為xcm，盒底邊長為ycm，則有盒高為2.5ycm，
依題意，如圖1所示，根據圖形得：

x+4y=34 2x+4.5y=40

，
解得：

x=2 y=8

，
∴盒高=2.5y=8×2.5=20cm，盒底邊長為8cm，
∴茶葉盒的容積為20×8×8=1280cm³，
則該茶葉盒的容積是1280cm³；  
（2）設瓶底直徑為dcm，茶葉罐高是1.5dcm，
依題意，如圖3所示，根據圖形得：

4d+3d+2≤60 2d+3d+4≤44

或

4d+3d+2≤44 2d+3d+4≤60

，
整理得：

7d≤58 5d≤40

或

7d≤42 5d≤56

，
解得：d≤8或d≤6，
則茶葉罐底面直徑最大可以為8cm．

點評：此題考查了一元一次不等式組的應用，以及二元一次方程組的應用，利用了數形結合的思想，根據圖形找出等量關系或不等關系是解本題的關鍵．