Question

如圖，正方形ABCD邊長為6．菱形EFGH的三個頂點E、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、CD、DA上，且AH=2，連接CF．
（1）當DG=2時，求證：菱形EFGH為正方形；
（2）設DG=x，試用含x的代數式表示△FCG的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于四邊形ABCD為正方形，四邊形HEFG為菱形，那么∠D=∠A=90°，HG=HE，而AH=DG=2，易證△AHE≌△DGH，從而有∠DHG=∠HEA，等量代換可得∠AHE+∠DHG=90°，易證四邊形HEFG為正方形；
（2）欲求△FCG的面積，由已知得CG的長易求，只需求出GC邊的高，通過證明△AHE≌△MFG可得．
解答：（1）證明：在△HDG和△AEH中，
∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90°，
∵四邊形EFGH是菱形，
∴HG=HE，
∵DG=AH=2，
∴Rt△HDG≌△AEH，
∴∠DHG=∠AEH，
∴∠DHG+∠AHE=90°
∴∠GHE=90°，
∴菱形EFGH為正方形；
（2）解：過F作FM⊥CD，垂足為M，連接GE
∵CD∥AB，
∴∠AEG=∠MGE，
∵GF∥HE，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠FGM，
在Rt△AHE和Rt△GFM中，
∵，
∴Rt△AHE≌Rt△GFM，
∴MF=2，
∵DG=x，
∴CG=6-x．
∴S_△FCG=CG•FM=6-x．
點評：本題考查了正方形的性質、菱形的性質、全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是作輔助線：過F作FM⊥DC，交DC延長線于M，連接GE，構造全等三角形和內錯角．