Question

已知：如圖，AB是半圓O上的直徑，E是的中點，半徑OE交弦BC于點D，過點C作⊙O的切線交OE的延長線于點F．BC=8，DE=2．
（Ⅰ）求⊙O的半徑；
（Ⅱ）求點F到⊙O的切線長．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用切線的性質，設出半徑，再利用勾股定理列出方程即可得出半徑；
（2）欲求切線長，只需證明△OCF∽△ODC即可，利用相似三角形的性質即可得出切線CF的長．
解答：解：（1）∵OE⊥BC，∴CD=BC=4．（1分）
設⊙O半徑為r，則OD=r-DE=r-2，
∵CF是⊙O的切線，
∴OC⊥CF，
在Rt△OCD中，有OC²=OD²+CD²，（3分）
即r²=（r-2）²+4²，解得r=5．（4分）

（2）∵∠OCF=∠ODC，∠FOC=∠COD，
∴△OCF∽△ODC，（6分）
∴，∴．（8分）
點評：本題綜合考查了切線的性質和三角形相似的判定及其應用，有一定的難度，要求學生能夠仔細讀題，把握已知，認真完成題目要求．