Question

如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A（0，1）在y軸上，點B（3，0）在x軸上，M（x，0）是線段OB上一動點，N是x軸上方一動點，且滿足：ON=OA，MN=MB．

（1）求直線AB的解析式；
（2）若△OMN為直角三角形，求點M的坐標；
（3）在（2）的情況下，當時，判斷點N與直線AB的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，把AB兩點的坐標代入即可；
（2）由△OMN為直角三角形，OM、ON、MN都可能為斜邊，需要分三種情況討論，去掉沒解的情況，即得答案；
（3）由（2）得，當時，△OMN是以MO為斜邊的直角三角形，求出N點的坐標將其代入直線AB的解析式，恰好能使等式成立，即可判定點N在直線AB上．
解答：解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b
∵A（0，1），B（3，0）
∴解得：（2分）
∴直線AB的解析式為（3分）

（2）由題意可得，ON=OA=1，MN=MB=3-x（4分）
∵△OMN為直角三角形
①若ON為斜邊，則1=x²+（3-x）²，即x²-3x+4=0，無解（5分）
②若MO為斜邊，則x²=（3-x）²+1，解得（6分）
③若MN為斜邊，則（3-x）²=1+x²，解得（7分）
∴點M的坐標為或（9分）

（3）當時，由（2）知此時△OMN是以MO為斜邊的直角三角形（10分）
且MO=，MN=MB=
過N作NE⊥OB于E，
∴
∴
∴，
即N（12分）
當x=時，，
∴點N在直線上
即當時，N在直線AB上．（14分）
點評：本題是函數與三角形相結合的問題，在圖形中滲透運動的觀點是中考中經常出現的問題．