Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=5，D是BC邊上一點，CD=3，點P在邊AC上（點P與A、C不重合），過點P作PE∥BC，交AD于點E．
（1）設AP=x，DE=y，求y關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍；
（2）當以PE為半徑的⊙E與DB為半徑的⊙D外切時，求∠DPE的正切值；
（3）將△ABD沿直線AD翻折，得到△AB′D，連接B′C．如果∠ACE=∠BCB′，求AP的值．

Answer 1

分析：（1）首先根據勾股定理求得AD的長，又由平行線分線段成比例定理求得DE的長，則可得y與x的關系；
（2）因為當以PE為半徑的⊙E與DB為半徑的⊙D外切時，有DE=PE+BD，所以可以求得x的值，即可求得PC的長，則在Rt△PCD中，根據三角函數的性質即可求得tan∠DPE的值；
（3）首先由有兩角對應相等的三角形相似，即可證得：△ACD∽△BFD與△ACE∽△BCB′，又由相似三角形對應邊成比例，即可求得AP的值．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=4，CD=3，
∴AD=5，
∵PE∥BC，
∴

AP

AC

=

AE

AD

，
∴

x

4

=

AE

5

，
∴AE=

5

4

x，
∴DE=5-

5

4

x，
即y=5-

5

4

x，（0＜x＜4）；

（2）當以PE為半徑的⊙E與DB為半徑的⊙D外切時，有DE=PE+BD，即5-

5

4

x=

3

4

x+2，
解之得x=

3

2

，
∴PC=

5

2

，
∵PE∥BC，
∴∠DPE=∠PDC，
在Rt△PCD中，
tan∠PDC=

PC

CD

=

5 2

3

=

5

6

；
∴tan∠DPE=

5

6

；

（3）延長AD交BB′于F，則AF⊥BB′，連接CE，
則∠ACD=∠BFD，
∵∠ADC=∠FDB，
∴∠CAD=∠FBD，
∴△ACD∽△BFD，
∴BF=

8

5

，
∴BB′=

16

5

，
∵∠ACE=∠BCB′，∠CAE=∠CBB′，
∴△ACE∽△BCB′，
∴AE=

64

25

，
∴t=AP=

256

125

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，以及旋轉的性質，三角函數等知識．此題難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．