Question

29、如圖1，已知⊙O和⊙O′都經過點A和點B，直線PQ切⊙O于點P，交⊙O′于點Q、M，交AB的延長線于點N．
（1）求證：PN²=NM•NQ
（2）若M是PQ的中點，設MQ=x，MN=y，求證：x=3y．
（3）若⊙O′不動，把⊙O向右或向左平移，分別得到圖2、圖3、圖4，請你判斷（直接寫出判斷結論，不需證明）：
①（1）題結論是否仍然成立？
②在圖2中，（2）題結論是否仍然成立？
在圖3、圖4中，若將（2）題條件改為：M是PN的中點，設MQ=x，MN=y，則x=3y的結論是否仍然成立？

Answer 1

分析：（1）由PQ切⊙O于P，即可得PN²=NB•NA，又由NB•NA=NM•NQ，即可證得PN²=NM•NQ；
（2）由PM=MQ=x，MN=y，PN²=NM•NQ，即可得x²=3xy，即可得x=3y；
（3）同理可得：①在圖2、圖3、圖4中（1）題結論都成立；②在圖2中（2）題結論成立．在圖3、圖4中，按題意改變條件后，x=3y的結論仍然成立．

解答：證明：（1）∵PQ切⊙O于P，
∴PN²=NB•NA，
∵NB•NA=NM•NQ，
∴PN²=NM•NQ；

（2）∵PM=MQ=x，MN=y，PN²=NM•NQ，
∴（x-y）²=y（x+y），
整理，得x²=3xy，
∵x≠0，
∴x=3y；

（3）①在圖2、圖3、圖4中（1）題結論都成立．
②在圖2中（2）題結論成立．在圖3、圖4中，按題意改變條件后，x=3y的結論仍然成立．

點評：此題考查了圓與圓的位置關系，一元二次方程的解法，切割線定理等知識．此題圖形比較復雜，但難度不大，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．