Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCD的邊AB在x軸上，且AB=3，BC=2

3

，直線y=

3

x-2

3

經過點C，交y軸于點G．
（1）點C、D的坐標分別是C

 

，D

 

；
（2）求頂點在直線y=

3

x-2

3

上且經過點C、D的拋物線的解析式；
（3）將（2）中的拋物線沿直線y=

3

x-2

3

平移，平移后的拋物線交y軸于點F，頂點為點E（頂點在y軸右側）．平移后是否存在這樣的拋物線，使△EFG為等腰三角形？若存在，請求出此時拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據正方形的性質得到C點的縱坐標為2

3

，然后代入直線y=

3

x-2

3

，即可得到C（4，2

3

），D（1，2

3

）；
（2）先求出頂點坐標為（

5

2

，

3

2

），再利用頂點式求出拋物線的解析式；
（3）先設拋物線解析式為y=

2 3

3

(x-m)2+

3

m-2

3

，然后分類討論：①當FG=EG時，FG=EG=2m，則F(0，2m-2

3

)，代入解析式得：

2 3

3

m2+

3

m-2

3

=2m-2

3

，求m的值；②當GE=EF時，FG=2

3

m，則F（0，2

3

m-2

3

），代入解析式得：

2 3

3

m²+

3

m-2

3

=2

3

m-2

3

，求m的值；③當FG=FE時，不存在．

解答：解：（1）令y=2

3

，2

3

=

3

x-2

3

，解得x=4，則OA=4-3=1，
∴C（4，2

3

），D（1，2

3

）；
故答案為（4，2

3

）；（1，2

3

）；

（2）由二次函數對稱性得，頂點橫坐標為

1+4

2

=

5

2

，
令x=

5

2

，則y=

3

×

5

2

-2

3

=

3

2

，
∴頂點坐標為（

5

2

，

3

2

），
∴設拋物線解析式為y=a(x-

5

2

)2+

3

2

，把點D(1，2

3

)代入得，a=

2 3

3

∴解析式為y=

2 3

3

(x-

5

2

)2+

3

2

（3）設頂點E在直線上運動的橫坐標為m，則E(m，

3

m-2

3

)(m＞0)
∴可設解析式為y=

2 3

3

(x-m)2+

3

m-2

3

，
①當FG=EG時，FG=EG=2m，則F(0，2m-2

3

)，代入解析式得

2 3

3

m2+

3

m-2

3

=2m-2

3

，
得m=0（舍去），m=

3

-

3

2

，
此時所求的解析式為：y=

2 3

3

(x-

3

+

3

2

)2+3-

7 3

2

；
②當GE=EF時，FG=2

3

m，則F（0，2

3

m-2

3

），
代入解析式得：

2 3

3

m²+

3

m-2

3

=2

3

m-2

3

，解得m=0（舍去），m=

3

2

，
此時所求的解析式為：y=

2 3

3

（x-

3

2

）²-

3

2

；
③當FG=FE時，不存在．

點評：本題考查了拋物線的性質和它的頂點式．同時也考查了正方形的性質以及一次函數的性質和分類討論思想的運用．