Question

2．如圖，點C、D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，∠A=∠BPD
（1）求證：△ACP∽△PDB；
（2）求∠APB的度數．

Answer 1

分析 （1）由△PCD為等邊三角形，得到三內角為60°，進而得到∠ACP=∠PDB=120°，再由已知角相等，利用兩對角相等的三角形相似即可得證；
（2）根據相似三角形對應角相等得到∠APC=∠B，再利用外角性質求出所求角度數即可．

解答 （1）證明：∵△PCD為等邊三角形，
∴∠PCD=∠PDC=60°，
∴∠ACP=∠PDB=120°，
∵∠A=∠BPD，
∴△ACP∽△PDB；
（2）∵△ACP∽△PDB，
∴∠APC=∠B，
∵∠PDC為△PBD的外角，
∴∠PDC=∠B+∠BPD=∠APC+∠BPD=60°，
則∠APB=∠APC+∠BPD+∠CPD=120°．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質，以及等邊三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．