Question

在某市開展的環境創優活動中，某居民小區要在一塊靠墻（墻長15米）的空地上修建一個矩形花園ABCD，花園的一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍成，若設花園平行于墻的一邊長為x（m），花園的面積為y（m²）．
（1）求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）滿足條件的花園面積能達到200m²嗎？若能，求出此時x的值，若不能，說明理由；
（3）根據（1）中求得的函數關系式，判斷當x取何值時，花園的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

分析：（1）設花園靠墻的一邊長為x（m），另一邊長為

40-x

2

，用面積公式表示矩形面積；
（2）就是已知y=200，解一元二次方程，但要注意檢驗結果是否符合題意；即結果應該是0＜x≤15．
（3）由于0＜x≤15，對稱軸x=20，即頂點不在范圍內，y隨x的增大而增大．∴x=15時，y有最大值．

解答：解：（1）根據題意得：y=x•

40-x

2

，
即y=-

1

2

x²+20x（0＜x≤15）
（2）當y=200時，即-

1

2

x²+20x=200，
解得x₁=x₂=20＞15，
∴花園面積不能達到200m²．
（3）∵y=-

1

2

x²+20x的圖象是開口向下的拋物線，對稱軸為x=20，
∴當0＜x≤15時，y隨x的增大而增大．
∴x=15時，y有最大值，
y_最大值=-

1

2

×15²+20×15=187.5m²
即當x=15時，花園的面積最大，最大面積為187.5m²．

點評：本題考查實際問題中二次函數解析式的求法及二次函數的實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．