Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣2與x軸交于兩點A（﹣1，0）和B（4，0），與Y軸交于點C，連接AC、BC、AB，

（1）求拋物線的解析式；

（2）點D是拋物線上一點，連接BD、CD，滿足，求點D的坐標；

（3）點E在線段AB上（與A、B不重合），點F在線段BC上（與B、C不重合），是否存在以C、E、F為頂點的三角形與△ABC相似，若存在，請直接寫出點F的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）D的坐標為，，（1，﹣3）或（3，﹣2）．（3）存在，F的坐標為，（2，﹣1）或．

【解析】

（1）根據點A，B的坐標，利用待定系數法可求出拋物線的解析式；

（2）利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標，結合點A，B的坐標可得出AB，AC，BC的長度，由AC2+BC2＝25＝AB2可得出∠ACB＝90°，過點D作DM∥BC，交x軸于點M，這樣的M有兩個，分別記為M1，M2，由D1M1∥BC可得出△AD1M1∽△ACB，利用相似三角形的性質結合S△DBC＝ ，可得出AM1的長度，進而可得出點M1的坐標，由BM1＝BM2可得出點M2的坐標，由點B，C的坐標利用待定系數法可求出直線BC的解析式，進而可得出直線D1M1，D2M2的解析式，聯立直線DM和拋物線的解析式成方程組，通過解方程組即可求出點D的坐標；

（3）分點E與點O重合及點E與點O不重合兩種情況考慮：①當點E與點O重合時，過點O作OF1⊥BC于點F1，則△COF1∽△ABC，由點A，C的坐標利用待定系數法可求出直線AC的解析式，進而可得出直線OF1的解析式，聯立直線OF1和直線BC的解析式成方程組，通過解方程組可求出點F1的坐標；②當點E不和點O重合時，在線段AB上取點E，使得EB＝EC，過點E作EF2⊥BC于點F2，過點E作EF3⊥CE，交直線BC于點F3，則△CEF2∽△BAC∽△CF3E．由EC＝EB利用等腰三角形的性質可得出點F2為線段BC的中點，進而可得出點F2的坐標；利用相似三角形的性質可求出CF3的長度，設點F3的坐標為（x， x﹣2），結合點C的坐標可得出關于x的方程，解之即可得出x的值，將其正值代入點F3的坐標中即可得出結論．綜上，此題得解．

（1）將A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2，得：

，解得：，

∴拋物線的解析式為y＝ x2﹣x﹣2．

（2）當x＝0時，y＝x2﹣x﹣2＝﹣2，

∴點C的坐標為（0，﹣2）．

∵點A的坐標為（﹣1，0），點B的坐標為（4，0），

∴AC＝，BC＝ ＝2，AB＝5．

∵AC2+BC2＝25＝AB2，

∴∠ACB＝90°．

過點D作DM∥BC，交x軸于點M，這樣的M有兩個，分別記為M1，M2，如圖1所示．

∵D1M1∥BC，

∴△AD1M1∽△ACB．

∵S△DBC＝，

∴,

∴AM1＝2，

∴點M1的坐標為（1，0），

∴BM1＝BM2＝3，

∴點M2的坐標為（7，0）．

設直線BC的解析式為y＝kx+c（k≠0），

將B（4，0），C（0，﹣2）代入y＝kx+c，得：

，解得： ，

∴直線BC的解析式為y＝ x﹣2．

∵D1M1∥BC∥D2M2，點M1的坐標為（1，0），點M2的坐標為（7，0），

∴直線D1M1的解析式為y＝ x﹣ ，直線D2M2的解析式為y＝x﹣．

聯立直線DM和拋物線的解析式成方程組，得： 或，

解得： ，， ，，

∴點D的坐標為（2﹣ ， ），（2+ ，），（1，﹣3）或（3，﹣2）．

（3）分兩種情況考慮，如圖2所示．

①當點E與點O重合時，過點O作OF1⊥BC于點F1，則△COF1∽△ABC，

設直線AC的解析設為y＝mx+n（m≠0），

將A（﹣1，0），C（0，﹣2）代入y＝mx+n，得：

，解得： ，

∴直線AC的解析式為y＝﹣2x﹣2．

∵AC⊥BC，OF1⊥BC，

∴直線OF1的解析式為y＝﹣2x．

連接直線OF1和直線BC的解析式成方程組，得： ，

解得： ，

∴點F1的坐標為（ ，﹣ ）；

②當點E不和點O重合時，在線段AB上取點E，使得EB＝EC，過點E作EF2⊥BC于點F2，過點E作EF3⊥CE，交直線BC于點F3，則△CEF2∽△BAC∽△CF3E．

∵EC＝EB，EF2⊥BC于點F2，

∴點F2為線段BC的中點，

∴點F2的坐標為（2，﹣1）；

∵BC＝2 ，

∴CF2＝ BC＝ ，EF2＝ CF2＝ ，F2F3＝ EF2＝ ，

∴CF3＝ ．

設點F3的坐標為（x， x﹣2），

∵CF3＝，點C的坐標為（0，﹣2），

∴x2+[x﹣2﹣（﹣2）]2＝，

解得：x1＝﹣ （舍去），x2＝，

∴點F3的坐標為（，﹣ ）．

綜上所述：存在以C、E、F為頂點的三角形與△ABC相似，點F的坐標為（ ，﹣ ），（2，﹣1）或（ ，﹣ ）．