Question

如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分別從A，B，C，D出發(fā)沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時運動，當(dāng)有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時，運動即停止．已知在相同時間內(nèi)，若BQ=xcm()，則AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．

（1）當(dāng)x為何值時，以PQ，MN為兩邊,以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構(gòu)成一個三角形；

（2）當(dāng)x 為何值時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形；

（3）以P，Q，M，N為頂點的四邊形能否為等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，請說明理由．

 

Answer 1

 

（1）

（2）當(dāng)時,以P,Q,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形

（3）以P，Q，M，N為頂點的四邊形不能為等腰梯形

解析:解：（1）當(dāng)點P與點N重合或點Q與點M重合時,以PQ，MN為兩邊,以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個三角形.

①當(dāng)點P與點N重合時,

(舍去).…1分

因為BQ+CM=,此時點Q與點M不重合.

所以符合題意.  ……………………2分

②當(dāng)點Q與點M重合時,

.

此時,不符合題意.

故點Q與點M不能重合.

所以所求x的值為.……………………3分

(2)由(1)知,點Q 只能在點M的左側(cè),

①當(dāng)點P在點N的左側(cè)時,

由,

解得.

當(dāng)x=2時四邊形PQMN是平行四邊形.………………5分

②當(dāng)點P在點N的右側(cè)時,

由, 

解得.

當(dāng)x=4時四邊形NQMP是平行四邊形.

所以當(dāng)時,以P,Q,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形.  …7分

(3)過點Q，M分別作AD的垂線,垂足分別為點E，F(xiàn).

由于2x>x,

所以點E一定在點P的左側(cè).

若以P，Q，M，N為頂點的四邊形是等腰梯形, 

則點F一定在點N的右側(cè),且PE=NF,   …………8分

即.

解得.

由于當(dāng)x=4時, 以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形,

所以以P，Q，M，N為頂點的四邊形不能為等腰梯形.…10分