Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知A（8，0），B（0，6），⊙M經過原點O及點A、B．

（1）求⊙M的半徑及圓心M的坐標；

（2）過點B作⊙M的切線l，求直線l的解析式；

（3）∠BOA的平分線交AB于點N，交⊙M于點E，求點N的坐標和線段OE的長．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵∠AOB=90°，∴AB為⊙M的直徑。

∵A（8，0），B（0，6），∴OA=8，OB=6。

∴。

∴⊙M的半徑為5；圓心M的坐標為（（4，3）。

（2）如圖，設點B作⊙M的切線l交x軸于C，

∵BC與⊙M相切，AB為直徑，∴AB⊥BC。

∴∠ABC=90°，∴∠CBO+∠ABO=90°。

∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠BAO=∠CBO。

∴Rt△ABO∽Rt△BCO。

∴，即，解得。

∴C點坐標為（，0）。

設直線BC的解析式為y=kx+b，

把B（0，6）、C點（，0）分別代入得

，解得。

∴直線l的解析式為y=x+6。

 （3）如圖，作ND⊥x軸，連接AE，

  ∵∠BOA的平分線交AB于點N，∴△NOD為等腰直角三角形。

∴ND=OD�！郚D∥OB�！唷鰽DN∽△AOB。

∴ND：OB=AD：AO，∴ND：6=（8﹣ND）：8，解得ND=。

∴OD=，ON=ND=。

∴N點坐標為（，）。

∵△ADN∽△AOB，∴ND：OB=AN：AB，即：6=AN：10，解得AN=。

∴BN=10﹣=。

∵∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，∴△BON∽△EAN。

∴BN：NE=ON：AN，即：NE=：，解得NE=。

∴OE=ON+NE=+=。

【解析】（1）根據圓周角定理∠AOB=90°得AB為⊙M的直徑，則可得到線段AB的中點即點M的坐標，然后利用勾股定理計算出AB=10，則可確定⊙M的半徑為5。

（2）點B作⊙M的切線l交x軸于C，由切線的性質得AB⊥BC，由等角的余角相等得到∠BAO=∠CBO，根據相似三角形的判定方法有Rt△ABO∽Rt△BCO，所以，可解得，則C點坐標為（，0），最后運用待定系數法確定l的解析式。

（3）作ND⊥x軸，連接AE，易得△NOD為等腰直角三角形，所以ND=OD，ON=ND，再利用ND∥OB得到△ADN∽△AOB，則ND：OB=AD：AO，即ND：6=（8﹣ND）：8，解得ND=，所以OD=，ON=，即可確定N點坐標；由于△ADN∽△AOB，利用ND：OB=AN：AB，可求得AN=，則BN=10﹣=，然后利用圓周角定理得∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，所以△BON∽△EAN，再利用相似比可求出ME，最后由OE=ON+NE計算即可。