Question

如圖，已知矩形ABCD，AB=8cm，BC=6cm，動點P從點A出發，以1cm/s的速度沿AB向點B移動，同時，點Q從點C出發，以相同的速度沿CD向點D移動（點P到達點B停止時，點Q也隨之停止運動），以PQ為直徑作⊙O交AB于E，連接EQ，設點P運動時間為t秒，⊙O的面積為s．
（1）求證：EQ⊥AB；
（2）試求s關于t的函數關系式，并求出當t=2時s的值；
（3）探究：是否存在一個時刻t，使⊙O與邊AD相切？若存在，請求出此時s及t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用圓周角定理得出∠PEQ=90°，進而得出EQ⊥AB；
（2）利用PE，EQ的長得出QP的平方的值，進而得出（）²=t²-8t+25，求出S關于t的函數關系式即可；
（3）利用已知得出當⊙O與邊AD相切時，⊙O也與邊BC相切，進而利用勾股定理以及一元二次方程的解法得出t的值即可．
解答：（1）證明：∵以PQ為直徑作⊙O交AB于E，
∴PQ為⊙O直徑，∠PEQ為圓周角，
∴∠PEQ=90°，
∴EQ⊥AB；

（2）解：設點P運動時間為t秒時，
則AP=tcm，QC=tcm，
∵EQ⊥AB，
∴∠QEB=∠B=∠C=90°，
∴四邊形QEBC是矩形，
∴BE=CQ=tcm，EQ=BC=6cm，
∴PE=8-2tcm，
∴PQ²=EQ²+PE²，
∴PQ²=（8-2t）²+6²
∴（）²=[（8-2t）²+6²]=t²-8t+25，
∴S=π（）²=π（t²-8t+25）=πt²-8πt+25π，
當t=2時，s=πt²-8πt+25π=4π-8π×2+25π=13π（cm²）；

（3）解：如圖所示：
∵P，Q運動速度相同，
∴以PQ為直徑作⊙O，當⊙O與邊AD相切時，⊙O也與邊BC相切，
∴此時⊙O直徑為8cm，
設⊙O與邊AD相切與點M，過點P作PN⊥OM于點N，
∴MO=PO=4cm，AP=tcm，則MN=tcm，PN=AM=MD=3cm，
∴在Rt△PNO中，
PN²+NO²=PO²，
∴3²+（4-t）²=4²，
解得：t₁=4+，t₂=4-，
此時s=π×4²=16π（cm²），t的值分別為：4+秒，4-秒．
點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及勾股定理和一元二次方程的解法等知識，利用已知得出當⊙O與邊AD相切時，⊙O也與邊BC相切是解題關鍵．