Question

如圖，拋物線y₁=ax²-2ax+b經過A（-1，0），C（0，）兩點，與x軸交于另一點B．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點為M，點P為線段OB上一動點（不與點B重合），點Q在線段MB上移動，且∠MPQ=45°，設線段OP=x，MQ=y₂，求y₂與x的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（3）在同一平面直角坐標系中，兩條直線x=m，x=n分別與拋物線交于點E、G，與（2）中的函數圖象交于點F、H．問四邊形EFHG能否成為平行四邊形？若能，求m、n之間的數量關系；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、C的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出y₁的函數解析式；
（2）過M作MN⊥x軸于N，根據拋物線y₁的函數解析式，即可得到M點的坐標，可分別在Rt△MPN和Rt△MBN中，用勾股定理表示出MN的長，由此可得到關于PM、x的函數關系式；由于∠MPQ=∠MBP=45°，易證得△MPQ∽△MBP，根據相似三角形得到的比例線段即可得到關于PM、y₂的關系式，聯立兩式即可求出y₂、x的函數關系式；
（3）根據兩根拋物線的解析式和兩條直線的解析式，可求出E、F、G、H四點的坐標，即可得到EF、GH的長，由于EF∥GH，若四邊形EFHG是平行四邊形，那么必有EF=GH，可據此求出m、n的數量關系．
解答：解：（1）∵拋物線y₁=ax²-2ax+b經過A（-1，0），C（0，）兩點；
∴，
解得．
∴拋物線的解析式為y₁=-x²+x+；

（2）作MN⊥AB，垂足為N．
由y₁=-x²+x+，易得M（1，2），N（1，0），A（-1，0），B（3，0）；
∴AB=4，MN=BN=2，MB=2，∠MBN=45°；
根據勾股定理有：BM²-BN²=PM²-PN²，
∴（2）²-2²=PM²-（1-x）²…①；
又∠MPQ=45°=∠MBP，∠PMQ=∠BMP（公共角），
∴△MPQ∽△MBP，
∴PM²=MQ•MB=y₂•2=2y₂…②；
由①②得：y₂=x²-x+；
∵0≤x＜3，
∴y₂與x的函數關系式為y₂=x²-x+（0≤x＜3）；

（3）四邊形EFHG可以為平行四邊形，m、n之間的數量關系是：m+n=2（0≤m≤2且m≠1）；
∵點E、G是拋物線y₁=-x²+x+分別與直線x=m，x=n的交點，
∴點E、G坐標為E（m，-m²+m+），G（n，-n²+n+）；
同理，點F、H坐標為F（m，m²-m+），H（n，n²-n+）．
∴EF=m²-m+-（-m²+m+）=m²-2m+1，GH=n²-n+-（-n²+n+）=n²-2n+1；
∵四邊形EFHG是平行四邊形，EF=GH，
∴m²-2m+1=n²-2n+1，
∴（m+n-2）（m-n）=0；
∵由題意知m≠n，
∴m+n=2（m≠1）；
因此四邊形EFHG可以為平行四邊形，m、n之間的數量關系是m+n=2（0≤m≤2且m≠1）．
點評：此題考查了二次函數解析式的確定、勾股定理、相似三角形的判定和性質、平行四邊形的判定等知識，綜合性強，難度較大．