Question

如圖，點A₁，A₂，A₃，A₄在射線OA上，點B₁，B₂，B₃在射線OB上，且A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃，A₂B₁∥A₃B₂∥A₄B₃．若△A₂B₁B₂，△A₃B₂B₃的面積分別為1，9，則圖中三個陰影三角形面積之和為

30

1

3

．

Answer 1

分析：已知△A₂B₁B₂，△A₃B₂B₃的面積分別為1，9，且兩三角形相似，因此可得出A₂B₂：A₃B₃=1：3，由于△A₂B₂A₃與△B₂A₃B₃是等高不等底的三角形，所以面積之比即為底之邊比，因此這兩個三角形的面積比為1：3，根據△A₃B₂B₃的面積為9，可求出△A₂B₂A₃的面積，同理可求出△A₃B₃A₄和△A₁B₁A₂的面積．即可求出陰影部分的面積．

解答：解：△A₂B₁B₂，△A₃B₂B₃的面積分別為1，9，
又∵A₂B₂∥A₃B₃，A₂B₁∥A₃B₂，
∴∠OB₂A₂=∠OB₃A₃，∠A₂B₁B₂=∠A₃B₂B₃，
∴△B₁B₂A₂∽△B₂B₃A₃，

B1B2

B2B3

=

1

3

=

A2B2

A3B3

，
∴

A2A3

A3A4

=

1

3

．
∵

S△A2B2A3

S△B2A3B3

=

1

3

，△A₃B₂B₃的面積是9，
∴△A₂B₂A₃的面積為=

1

3

×S_△A3B2B3=

1

3

×9=3（等高的三角形的面積的比等于底邊的比）．
同理可得：△A₃B₃A₄=3×S_△A3B2B3=3×9=27；
△A₁B₁A₂的面積=

1

3

S_△A2B1B2=

1

3

×1=

1

3

．
故三個陰影面積之和=

1

3

+3+27=30

1

3

．
故答案為：30

1

3

．

點評：本題考查了平行線分線段成比例、三角形的面積．解題的關鍵是利用平行線證明三角形相似，再根據已給的面積，求出相似比，從而求陰影部分的面積．