Question

如圖所示，在邊長為1的正方形ABCD中，一直角三角尺PQR的直角頂點P在對角線AC上移動，直角邊PQ經過點D，另一直角邊與射線BC交于點E．
（1）試判斷PE與PD的大小關系，并證明你的結論；
（2）連接PB，試證明：△PBE為等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）作輔助線：過點P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F，構建全等三角形Rt△EFP≌Rt△PGD（ASA），然后由全等三角形的對應邊相等證明PE=PD；
（2）由正方形的四條邊相等，對角線平分對角的性質證明△APB≌△APD（SAS），然后由全等三角形的對應邊相等證明PB=PD；利用（1）的結論，由等量代換證明PE=PB，即△PBE為等腰三角形；

解答： （1）解：PE=PD．
證明：過點P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F．
如圖所示．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形，△AGP和△PFC都是等腰直角三角形，
∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°；
又∵∠1+∠3=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2；
又PF=GD，∠PFE=∠PGD=90°，
∴Rt△EFP≌Rt△PGD（ASA），
∴PE=PD；

（2）證明：∵AD=AB，∠PAB=∠PAD=45°，AP=AP，
∴△APB≌△APD（SAS），
∴PB=PD，
∴PE=PB，
∴△PBE為等腰三角形．

點評：本題綜合考查了正方形的性質、等腰三角形的性質及全等三角形的判定與性質．解答此題的關鍵是通過作輔助線：過點P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F，構建全等三角形Rt△EFP≌Rt△PGD（ASA）．