Question

已知拋物線(xiàn)y=x²+bx+c與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)為A（2，0）．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）若拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為B，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，求△AOB內(nèi)切圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線(xiàn)與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，可得△=0，根據(jù)交點(diǎn)是A（2，0），可以把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，則得到兩個(gè)方程，聯(lián)立解方程組即可；
（2）顯然此三角形是直角三角形，只需求得它的三條邊，根據(jù)直角三角形的內(nèi)切圓半徑公式進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)y=x²+bx+c與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)為A（2，0）．
∴

b2-4c=0 2b+c=-4

，
∴b²-4（-4-2b）=0，
∴b²+8b+16=0，
∴b=-4，c=4，
即y=x²-4x+4．

（2）根據(jù)題意，知該三角形是直角三角形．
且OA=2，OB=4．
根據(jù)勾股定理，得AB=2

5

，
∴r=

OA+OB-AB

2

=

2+4-2 5

2

=3-

5

．

點(diǎn)評(píng)：注意：①二次函數(shù)和方程之間的聯(lián)系：拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)和一元二次方程根的情況有關(guān)：當(dāng)△＞0，拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)△=0，拋物線(xiàn)與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)△＜0，拋物線(xiàn)與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)．
②直角三角形內(nèi)切圓的半徑等于兩條直角邊的和與斜邊的差的一半．